Национална Олимпиада - Индия 2006

[Titu_Andrescu]

В неравностранния триъгълник ABC страните a,b,c са членове на аритметична прогресия в този ред. Нека I e центъра на вписаната, а O - на описаната окръжност за триъгълника ABC. a)Да се докаже, че IO и BI са перпендикулярни отсечки. b) Ако BI пресича AC в точка K, а D и E са средите на BC и BA съответно, то да се докаже, че I e центърът на описаната около DKE окръжност.

Успех!

[Реклама]

[M_Velinova]

Като начало BC=a, AC=a+d и AB=a+2*d. И естествено за да съществува триъгълникът d<a.

Моето решение е много рутинно, разписах формулите за разстоянията, които ще използвам и техният вид за конкретното условие.

За а) доказах, че BO^2=OI^2+BI^2, откъдето следва, че <BIO=90⁰
За б), че IK=ID=IE, откъдето следва, че I е център на описаната около триъгълник ДКЕ окръжност.

Този начин на решаване е рутинен и мисля, че всеки от участниците от 10 до 12 клас може да се потруди, добра тренировка е.

Интересно е да се предложат оригинални и кратки решения.
Аз също ще помисля още.

Vel

[Футуролог]

Нека к описаната окло АВС окръжност. О е центъра на к по условие. Нека Н е другата пресечна точка на правата BI с к (едната е В). Да означим <ВАС=2б, <АВС=2г и <АСВ=2ж.

Лема 1: НС=НА=HI.

Доказателство: Разглеждаме тр.АНI. <CAH=<CBH=г, a <IAC=б. Следователно <HAI = <HAC + <CAI = б+г. От друга страна <AIH = 180 - <AIB = 180 - (180 - (<BAI + <ABI)) = <BAI + <ABI = б+г. Следователно <HAI = <AIH = б+г, т.е. триъгълник AIH е равнобедрен и HA=HI. Аналогично HC=HI. (*)

Лема 2: Ако дължините а, b и c съответно на страните ВС, СА и АВ на тр.АВС образуват аритметична прогресия, то I е среда на хордата ВН.

Доказателство: Нека Н' е петата на перпендикуляра спуснат от Н към АВ и Н'' е петата на перпендикуляра спуснат от Н към ВС. Тъй като ВН е ъглополовящата на <АВС, то НН'=НН'' и ВН'=ВН''. От друга стана
1) <АН'Н=<НН''С = 90
2) НН'=НН''
3) НА=НС (дъгата НА е равна на дъгата НС понеже <АВН=<СВН и оттук съответните хорди НА и НС са равни).
Следователно тр.АНН'=тр.СН''Н и оттук АН'=СН''=х като съответни странъ в еднакви триъгълници. Ако допуснем, че ВС>СА>АВ, то ВН'=АВ+АН'=АВ+х и ВН''=ВС-СН''=ВС-х. Като израим х получаваме х=ВН'-АВ и х=ВС-ВН''. Така ВН'-АВ=ВС-ВН'' т.е. АВ+ВС=ВН'+ВН''. Но ВН'=ВН'', следователно АВ+ВС=2ВН', т.е. ВН' = (АВ+ВС)/2. Но по условието за аритметична прогресия АС=(АВ+ВС)/2, следователно АС=ВН'=ВН''. Съвсем аналогично се получава ако ВС<СА<АВ. Нека I' е вредата на ВН. Тогава, от това, че ВНН' е правоъгълен следва, че НI'=BI'=H'I'. Триъгълник BH'I' е равнобедрен <H'BI'=<BH'I'=г. Следователно:
1) <H'BI' = г = <CAH;
2) <BH'I' = г = <ACH;
3) BH' = AC.
Tова показва, че тр.BH'I'=тр.АСН. Следователно от Лема 1 и доказаното по-горе следва, че HI'=BI'=HA=HC=HI, т.е. HI = HI', което е възможно точно когато I=I'. Така оказахме, че I е среда на ВН. (*)

a) От Лема 2 знаем, че I е среда на ВН и тъй като ВН е хорда в к, а О е центъра на к, то OI е симетралата на ВН, т.е. OI е перпендикулярна на ВН. Следователно <BIO = 90.

b) Тъй като Е е среда на АВ и I е среда на ВН, то EI е средна отсечка в тр.АВН. Така EI е успоредна на АН и EI=AH/2. Аналогично DI=CH/2. Следователно DI=AH/2=CH/2=EI.

Лема 3: CK=CD и AK=AE.

Доказателство: От свойствата на ъглополовящата ВК имаме, че CK/AK=CK/(b-CK)=BC/AB=a/c. Пресмятаме CK.c = ab - CK.a и оттук
(a+c)CK=ab, т.е. CK = ab/(a+c). Но отново от условието за аритметична прогресия имам, че а+с=2b, което дава СK=a/2=CD. Аналогично AK=c/2=AE. (*)

Следствие: CI e перпендикулярна на КD.

Доказателство: Триъгълник KDC е равнобедрен по Лема 3 (KC=DC) и тъй като CI е ъглополовяща на <KCD, то тя е и височина, т.е. CI е перпендикулярна на KD. (*)

Нека М е средата на BI. Тогава DM е средна отсечка в тр.BIC и DM е успоредна на CI. Но CI е перпендикулярна на KD от следствието, следователно DM е перпендикулярна на KD, т.е. <KDM=90. Но MI=BI/2=HC/2=DI, т.е. MID е равнобедрен и I лежи на симетралатана DM. Но симетралата на катета DM пресича хипотенузата МК в средата и, т.е. I е средата на МК. Следователно DI=MI=KI=EI, т.е. I е равноотдалечена от точките K, D и E, т.е. I e центъра на описаната около тр.KDE окръжност.

Това е. Дано да няма много печатни грешки.

[M_Velinova]

[*UKTC*]

Доказателствата ти Футуролог са наистина много пълни

[just_me_88]

otnosno dokazatelstvoto na dadena zadacha . .. typo ili ne... vajno e da uspeesh da dokajesh tova koeto te pitat kato nqma znachenie dali dokazatelstvoto e na 5lista ili 5 reda..

[r2d2]