Рекурентни отношения

[dimitrov89]

Намерете базовите решения на зададените рекурентни отношения:

[tex]a_n = 4 a_{n-1} - 3 a_{n-2} + n .2^n + 3 [/tex]

[tex]c_n = -3 c_{n-1} - 2 c_{n-2} +2.n^2 + 3 .2^n [/tex]

[Реклама]

[Kaloyan_Krastev]

[tex]a_{n} = \frac{1}{4}(-3-2^{n + 5}-6n-n2^{n + 4})+C_{1}+3^{n}C_ {2}[/tex]

[tex]c_{n}=(2)^{n}-4(-1)^{3n}+\frac{1}{3 }(-1)^{3n}2^{n+3}+\frac{1}{ 9} n(3n+7)+(-2)^{n}C_{1}+(-1)^{n}C_{2}+\frac{8}{27 } [/tex]

[zhivo_zad]

за първото ::: След като стигна до това какво трябва да се направи.
Не е ли това базовото решение?

[Kaloyan_Krastev]

И двете диференчни ( рекурентни ) уравнения са линейни нехомогенни диференчни уравнения от втори ред.Разбира се човек aко порови из литературата ще намери много начини за решаването на горните два проблема.Най-често обаче ( а и навсякъде в университетите) се изучава методът на харектеристиките известен още от времето на Жозеф Луи Лагранж (1736 – 1813).Съставя се полином от същата степен и съшите коефициенти според реда и коефициентите на изходното рекурентно уравнение и му се намират корените.Например за първото уравниние характеристичния полином изглежда така
[tex]F(r)=r^{2}-4r+3=0[/tex]

[tex]r_{1}=-1 , r_{2}=-3[/tex]

Понеже уравнението е нехомогенно неговото решение представлява сума от решенията на хомогенната му част и някакво частно решение ,което зависи от нехомогенната част на рекурентното уравнение .Решението на хомогенната част има вида :

[tex]\alpha_{n}=C_{1}(-1)^{n} + C_{2}(-3)^{n}[/tex]
Тъй като нехомогеннта част е квазиполином частното решение трябва да има вида
[tex] \beta_{n}=(an+b)2^{n}+c [/tex].
Понеже [tex]\beta_{n}[/tex] е решение замествайки в рекурентното уравнение определяме коефициентите a,b и c.
Така общото решение ще има [tex] a_{n}=\alpha_{n} + \beta_{n}[/tex]

[Nona]

Решете рекурентните уравнения:

1) [tex]a_0=0; \ \ a_n=4a_{\lceil \frac{n}{2}\rceil}+n, \ \ n\ge1, \ \ n=2^k;[/tex]

2) [tex]a_0=0; \ \ a_n=na^2_{\lceil \frac{n}{2}\rceil}, \ \ n\ge1, \ \ n=2^k.[/tex]

[Kaloyan_Krastev]

[tex] 1)a_{0}=0 ,a_{n}=4a_{\frac{n}{ 2} }+n , n\ge 1 , n=2^{k} ;[/tex]

Заместваме [tex]n=\frac{n}{2 }[/tex] и получаваме [tex]a_{\frac{n}{ 2} }=4a_{\frac{n}{4}}+\frac{n}{ 2} =4a_{\frac{n}{ 2^{2}}} +\frac{n}{ 2} [/tex] обаче от изходното уравнение имаме , че [tex]a_{\frac{n}{2 }}=\frac{a_{n}-n}{ 4} [/tex] откъдето
[tex] \frac{a_{n}-n}{ 4}=4a_{\frac{n}{ 2^{2}}} +\frac{n}{ 2} [/tex] оттук
[tex]a_{n}=4^{2}a_{\frac{n}{2^{2} } }+3n [/tex] (*)
прилагайки същата процедура но сега за (*) продълваваме докато в един момент (след к на брой итерации)ще имаме [tex]a_{n}=4^{k}a_{1}+n(1+\frac{4}{ 2} +(\frac{4}{ 2})^{2}+. . . . . . . .+(\frac{4}{ 2} )^{k-1}) [/tex] което е и решението.
Понеже 2) е нелинейно трябва да се измисли нещо по различно.