Регистрирайте сеРегистрирайте се

Задача от IMO 2006


 
   Форум за математика Форуми -> Олимпиади и състезания за 9-12 клас
Предишната тема :: Следващата тема  
Автор Съобщение
Nona
Напреднал


Регистриран на: 12 Sep 2006
Мнения: 477

Репутация: 234.7
гласове: 163

МнениеПуснато на: Sun Dec 31, 2006 12:47 pm    Заглавие: Задача от IMO 2006

В триъгълник ABC точката I е център на вписаната окръжност. Точката Р е вътрешна за триъгълника и
<PBA + <PCA = <PBC + <PCB.
Докажете, че AP>=AI. Кога се достига до равенство?
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Реклама







Пуснато на:     Заглавие: Реклама

Върнете се в началото
Titu_Andrescu
Напреднал


Регистриран на: 28 Oct 2006
Мнения: 370

Репутация: 68.9
гласове: 29

МнениеПуснато на: Sun Dec 31, 2006 5:03 pm    Заглавие:

<PBC+<PCB=<ABC-<PBA+<ABC-<PCA=<ABC+<ACB-<PBC-<PCB, следователно <PBC+<PCB=1/2(<ABC+<ACB). Имаме, че <CPB=180-<PBC-<PCB=90+(<ABC/2). Но от друга страна <CIB=90+(<ABC), ъгъл между ъглополовящи. Следователно <CPB=<CIB, което показва, че точките B,P,I и C лежат на една окръжност k. Нека правата AI пресича описаната около триъгълника ABC окръжност o повторно в точка M и тъй като AI e ъглопол., то М е средата на дъгата BC. Имаме, чe MB=MC, но триъгълничите IMC и IMB са равнобедрени (равни ъгли:<MIC=<BAC/2+ACB/2=<IAB+<ICB=>BCM+<ICB=ICM) и MI=MC=MB.
Сега вече лесно се вижда, че от неравенството на триъгълника имаме, че ако P не съвпада с I,то AP+PM>AM=AI+IM=AI+PM. Следователно AP>AI, което трябваше да се док.
А ако съвпада, то AP=AI
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Nona
Напреднал


Регистриран на: 12 Sep 2006
Мнения: 477

Репутация: 234.7
гласове: 163

МнениеПуснато на: Mon Jan 01, 2007 11:18 am    Заглавие:

Браво, Titu_Andrescu! Точно това е решението на задачата.


Честита Нова Година на всички! Нека тя ви донесе много здраве, щастие и успехи по математика!!!
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Titu_Andrescu
Напреднал


Регистриран на: 28 Oct 2006
Мнения: 370

Репутация: 68.9
гласове: 29

МнениеПуснато на: Mon Jan 01, 2007 5:42 pm    Заглавие:

Решенията на задачите от МОМ са почти навсякъде.

ЧНГ на всички, мн щастие, късмет и успех във всичко. Не забравяите, че въпреки всичко на първо място си остава да си човек.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
sd_pld
Начинаещ


Регистриран на: 05 Dec 2006
Мнения: 68

Репутация: 12.9
гласове: 1

МнениеПуснато на: Thu Jan 11, 2007 10:19 pm    Заглавие:

Тази задача ,заедно с 4та на тазгодишния МОМ наистина са много лесни.
Щом аз ги направих... Laughing
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Titu_Andrescu
Напреднал


Регистриран на: 28 Oct 2006
Мнения: 370

Репутация: 68.9
гласове: 29

МнениеПуснато на: Thu Jan 11, 2007 11:42 pm    Заглавие:

Никъде в условията за приемане на задачи за МОМ не присъства задачата да бъде трудна, защото в повечето случай очевидното е най-трудно за доказване.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
sd_pld
Начинаещ


Регистриран на: 05 Dec 2006
Мнения: 68

Репутация: 12.9
гласове: 1

МнениеПуснато на: Fri Jan 12, 2007 10:23 pm    Заглавие:

Titu_Andrescu написа:
Никъде в условията за приемане на задачи за МОМ не присъства задачата да бъде трудна, защото в повечето случай очевидното е най-трудно за доказване.

Така е да...Като тази година на Балканиадата ,където много от участниците не са били решили първа задача ,а тя става с разкриване на скоби
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Покажи мнения от преди:   
   Форум за математика Форуми -> Олимпиади и състезания за 9-12 клас Часовете са според зоната GMT + 2 Часа
Страница 1 от 1

 
Идете на:  
Не Можете да пускате нови теми
Не Можете да отговаряте на темите
Не Можете да променяте съобщенията си
Не Можете да изтривате съобщенията си
Не Можете да гласувате в анкети
Може да прикачвате файлове
Може да сваляте файлове от този форум
Copyright © 2005-2021 math10.com.