Регистрирайте се
Предишната тема :: Следващата тема |
Автор |
Съобщение |
Nona Напреднал
Регистриран на: 12 Sep 2006 Мнения: 477
гласове: 163
|
Пуснато на: Sun Dec 31, 2006 12:47 pm Заглавие: Задача от IMO 2006 |
|
|
В триъгълник ABC точката I е център на вписаната окръжност. Точката Р е вътрешна за триъгълника и
<PBA + <PCA = <PBC + <PCB.
Докажете, че AP>=AI. Кога се достига до равенство? |
|
Върнете се в началото |
|
|
Реклама
|
Пуснато на: Заглавие: Реклама |
|
|
|
|
Върнете се в началото |
|
|
Titu_Andrescu Напреднал
Регистриран на: 28 Oct 2006 Мнения: 370
гласове: 29
|
Пуснато на: Sun Dec 31, 2006 5:03 pm Заглавие: |
|
|
<PBC+<PCB=<ABC-<PBA+<ABC-<PCA=<ABC+<ACB-<PBC-<PCB, следователно <PBC+<PCB=1/2(<ABC+<ACB). Имаме, че <CPB=180-<PBC-<PCB=90+(<ABC/2). Но от друга страна <CIB=90+(<ABC), ъгъл между ъглополовящи. Следователно <CPB=<CIB, което показва, че точките B,P,I и C лежат на една окръжност k. Нека правата AI пресича описаната около триъгълника ABC окръжност o повторно в точка M и тъй като AI e ъглопол., то М е средата на дъгата BC. Имаме, чe MB=MC, но триъгълничите IMC и IMB са равнобедрени (равни ъгли:<MIC=<BAC/2+ACB/2=<IAB+<ICB=>BCM+<ICB=ICM) и MI=MC=MB.
Сега вече лесно се вижда, че от неравенството на триъгълника имаме, че ако P не съвпада с I,то AP+PM>AM=AI+IM=AI+PM. Следователно AP>AI, което трябваше да се док.
А ако съвпада, то AP=AI |
|
Върнете се в началото |
|
|
Nona Напреднал
Регистриран на: 12 Sep 2006 Мнения: 477
гласове: 163
|
Пуснато на: Mon Jan 01, 2007 11:18 am Заглавие: |
|
|
Браво, Titu_Andrescu! Точно това е решението на задачата.
Честита Нова Година на всички! Нека тя ви донесе много здраве, щастие и успехи по математика!!! |
|
Върнете се в началото |
|
|
Titu_Andrescu Напреднал
Регистриран на: 28 Oct 2006 Мнения: 370
гласове: 29
|
Пуснато на: Mon Jan 01, 2007 5:42 pm Заглавие: |
|
|
Решенията на задачите от МОМ са почти навсякъде.
ЧНГ на всички, мн щастие, късмет и успех във всичко. Не забравяите, че въпреки всичко на първо място си остава да си човек. |
|
Върнете се в началото |
|
|
sd_pld Начинаещ
Регистриран на: 05 Dec 2006 Мнения: 68
гласове: 1
|
Пуснато на: Thu Jan 11, 2007 10:19 pm Заглавие: |
|
|
Тази задача ,заедно с 4та на тазгодишния МОМ наистина са много лесни.
Щом аз ги направих... |
|
Върнете се в началото |
|
|
Titu_Andrescu Напреднал
Регистриран на: 28 Oct 2006 Мнения: 370
гласове: 29
|
Пуснато на: Thu Jan 11, 2007 11:42 pm Заглавие: |
|
|
Никъде в условията за приемане на задачи за МОМ не присъства задачата да бъде трудна, защото в повечето случай очевидното е най-трудно за доказване. |
|
Върнете се в началото |
|
|
sd_pld Начинаещ
Регистриран на: 05 Dec 2006 Мнения: 68
гласове: 1
|
Пуснато на: Fri Jan 12, 2007 10:23 pm Заглавие: |
|
|
Titu_Andrescu написа: | Никъде в условията за приемане на задачи за МОМ не присъства задачата да бъде трудна, защото в повечето случай очевидното е най-трудно за доказване. |
Така е да...Като тази година на Балканиадата ,където много от участниците не са били решили първа задача ,а тя става с разкриване на скоби |
|
Върнете се в началото |
|
|
|
|
Не Можете да пускате нови теми Не Можете да отговаряте на темите Не Можете да променяте съобщенията си Не Можете да изтривате съобщенията си Не Можете да гласувате в анкети Може да прикачвате файлове Може да сваляте файлове от този форум
|
|