Решете уравнението: (3-i)x^2 - 2(2-3i)x - 4i = 0

[VIS]

Здравейте на интересния сайт и привет на всички математици. Имам една молба. Имам едни задачи, повечето ги реших, но не мога да реша тази част с имагинерната част.
А те са:
1)Решете уравнението: (3-i)x² - 2(2-3i)x - 4i = 0

2)Пресметнете: [tex]\sqrt[3]{\frac{8 + 24i}{3 - i}[/tex]


Благодаря предварително. Задачите не са много трудни надявам се да получа отговор.

[Реклама]

[nikko1]

Не са имагинерни, а се наричат комплексни числа.
1) Имаме квадратно уравнение и смятаме дискриминантата по съкратената формула
[tex]D=(2-3i)^2-(3-i)(-4i)=4-\cancel{12i}+9i^2\cancel{+12i}-4i^2=4-9+4=-1.[/tex]
Тогава [tex]\sqrt{D}=\sqrt{-1}=i[/tex] и [tex]x_{1,2}=\frac{2-3i\pm i}{3-i}[/tex], съответно рационализираме знаменателите [tex]x_1=\frac{2-3i+i}{3-i}=\frac{2-2i}{3-i}.\frac{3+i}{3+i}=\frac{(2-2i)(3+i)}{3^2-i^2}=\frac{6+2i-6i-2i^2}{10}=\frac{8-4i}{10}=\frac{4}{5}-\frac{2i}{5}[/tex]
[tex]x_2=\frac{2-3i-i}{3-i}=\frac{2-4i}{3-i}.\frac{3+i}{3+i}=\frac{(2-4i)(3+i)}{3^2-i^2}=\frac{6+2i-12i-4i^2}{10}=\frac{10-10i}{10}=1-i.[/tex]
2) Да разионализираме величината в радикала.
[tex]\frac{8+24i}{3-i}=\frac{8+24i}{3-i}.\frac{3+i}{3+i}=\frac{(8+24i)(3+i)}{3^2-i^2}=\frac{24+8i+72i+24i^2}{10}=\frac{\cancel{24}+80i-\cancel{24}}{10}=8i[/tex]
За да коренуваме по форумите на Моавър трябва да представим това число в тригонометричен вид [tex]8i=|8i|(\cos \varphi+i\sin\varphi)=8(\cos \varphi+i\sin\varphi)[/tex], където ъгълът [tex]\varphi[/tex] изпълнява условията [tex]\cos\varphi=0, \sin\varphi=1[/tex], тогава [tex]\varphi=\frac{\pi}{2}[/tex] (или 90°) и [tex]8i=8(\cos \frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2})[/tex]
Тогава [tex]\sqrt[3]{8i}= \sqrt[3]{8(\cos \frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2})}= \sqrt[3]{8}\left(\cos \frac{\frac{\pi}{2}+2k\pi}{3}+i\sin\frac{\frac{\pi}{2}+2k\pi}{3}\right)[/tex] за [tex]k=0,\ 1,\ 2.[/tex] Получаваме три решения:
- за [tex]k=0[/tex] получаваме първото решение [tex]2\left(\cos \frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6}\right)=2(\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i);[/tex]
- за [tex]k=1[/tex] получаваме второто решение [tex]2\left(\cos \frac{\frac{\pi}{2}+2\pi}{3}+i\sin\frac{\frac{\pi}{2}+2\pi}{3}\right)=2\left(\cos \frac{5\pi}{6}+i\sin\frac{5\pi}{6}\right)=2(-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i);[/tex]
- за [tex]k=2[/tex] получаваме последното решение [tex]2\left(\cos \frac{\frac{\pi}{2}+4\pi}{3}+i\sin\frac{\frac{\pi}{2}+4\pi}{3}\right)=2\left(\cos \frac{3\pi}{2}+i\sin\frac{3\pi}{2}\right)=-2i.[/tex]

[VIS]

Мерси много! Така де, комплексни числа :Р Изпуснах лекциите по тях и много мерси. Първата задача е така, отговора съвпада, но за съжаление 2рата отговора не е така.
Много възможно е да има и грешка. Ето го отговора: [tex]\pm\sqrt{3} + i [/tex]

[nikko1]

Моля, моля. Нямам грешка никаква.
Просто в 1 am съм забравил да съкратя 2 в числител и знаменател. Освен ти да имаш грешка, защото корен [tex]n[/tex]-ти от комплексно число има [tex]n[/tex] различни комплексни стойности, аз ти дават 3, а в твоя отговор са само 2
[tex](-2i)^3=-8.i^3=-8.i^2.i=8i[/tex], така че това също е решение

[g_kulekov]

[VIS]

Аз говорех за 2рата задача. Извинявам се, моя грешка. Отговорите са даден и те наистина са три: [tex]\pm \sqrt{3} + 1 [/tex] и -2i
Виждам, че третия отговор си о поучил, но начина на решение малко ме притеснява, защото като се замисля така не сме ги учили. Просто беше някакви алгебрични изчисления, без внасяне на синус и косинус.
Задачата ми трябва до след един час. Няма проблем, щом другите са решени аз съм доволен и на това
Мерси много

[nikko1]

Ами човече, много се извинявам, ама това е форума за Висша математика и по точно за Линейна Алгебра и така се решават задачи с корен от комплексно число, ако си мислиш, че има друг начин, моля да ни информираш
Пък сега като се замислих хайде да ми сметнеш с алгебрични изчисления [tex]\sqrt[n]{i}[/tex] дори и в относително лесен случай за [tex]n=4[/tex]

[VIS]

Аз ако знаех други начини щях да си го реша
Та мерси за отговорите. Лично ще попитам след няколко дни как се решава задачата и ще пиша отново
Значи решавах една друга задача. Знам как се решава и я пререших няколко пъти и не ми се получава отговора, който е даден. Затова ако може някой да помогне да видя къде ми е грешката.
Ето я и нея:
3) [tex]A = \left(\begin{array}{cc} {5+3i} & 2+i & \\ -2+i & {5-5i} & \\ \end{array}\right)[/tex] , [tex]B = \left(\begin{array}{cc} {1+4i} & 3+2i & \\ -3+2i & {1-4i} & \\ \end{array}\right)[/tex]

Смятах ред по стълб по формулите, които ги има и в сайта и ми се получи грешен отговор.
(a + bi)(c + di) = (ac - bd) + i(ad + bc)
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + i(b + d)

Благодаря предварително

[nikko1]

А каква точно е задачата, че не ми стана ясно.
Нали знаеш, че задачите се състоят от 2 части:
- някои неща, които се знаят (това при теб го има);
- някои неща, които се търсят (е това нещо липсва )

[nikko1]

[VIS]

Уфф извинявам се. Пак забравих условието.. -> (Me <- Stupid)
АB = ? т.е. да се умножат двете матрици.

[nikko1]

[tex]A.B = \left(\begin{array}{cc} {5+3i} & 2+i & \\ -2+i & {5-5i} & \\ \end{array}\right) \left(\begin{array}{cc} {1+4i} & 3+2i & \\ -3+2i & {1-4i} & \\ \end{array}\right)=\left(\begin{array}{lr} {(5+3i)(1+4i)+(2+i)(-3+2i)\ \ } &{(5+3i)(3+2i)+(2+i)(1-4i)} & \\ {(-2+i)(1+4i)+(5-5i)(-3+2i)\ \ } & {(-2+i)(3+2i)+(5-5i)(1-4i)} & \\ \end{array}\right)[/tex]

[VIS]

Точно така. Това правя и аз, но ме интересуват и крайните изчисления
Първо умножаваме двете скоби с имагинерни части, след това събираме. Може ли краен резултат, за да сверя с моя отговор и с този от задачата

[nikko1]

[tex]\left(\begin{array}{lr} {(5+3i)(1+4i)+(2+i)(-3+2i)\ \ } &{(5+3i)(3+2i)+(2+i)(1-4i)} & \\ {(-2+i)(1+4i)+(5-5i)(-3+2i)\ \ } & {(-2+i)(3+2i)+(5-5i)(1-4i)} & \\ \end{array}\right)=[/tex][tex]=\left(\begin{array}{ll} {5+20i+3i+12i^2-6+4i-3i+2i^2\ \ } &{15+10i+9i+6i^2+2-8i+i-4i^2} & \\ {-2-8i+i+4i^2-15+10i-15i-10i^2\ \ } & {-6-4i+3i+2i^2+5-20i-5i+20i^2} & \\ \end{array}\right).[/tex] Заместваш навсякъде [tex]i^2=-1[/tex] и получаваш
[tex]\left(\begin{array}{ll} {-15+24i\ \ } &{15+12i} & \\ {-11-12i\ \ } & {-23-26i} & \\ \end{array}\right).[/tex]
Може да имам грешка в някое число, но общо взето това се получава

[VIS]

Отговорите са същите като моите, с изключение на този от втория ред първия стълб. Видях че си объркал само знака преди -15i, трябва да е +15i , и се получава: -11+18i
Но това няма значение, мерси за проверката Явно отговора, който е даден наистина е грешен. Благодаря още веднъж

[gdimkov]