Намиране на базис

[Nona]

В пространството [tex]\mathbb{R}^4[/tex] на наредените четворки [tex]x=(x_1,x_2,x_3,x_4)[/tex] реални числа са дадени подмножествата

[tex]U=\left\{x=(x_1,x_2,x_3,x_4)\in \mathbb{R}^4 | x_1=x_4, x_2=3x_3\right\}[/tex]

и

[tex]V=\left\{x+y|x\in U, y=(y_1,y_2,y_3,y_4),y_1+y_2+y_3+y_4=0\right\}.[/tex]

(a) Да се докаже, че [tex]U[/tex] и [tex]V[/tex] са подпространства на [tex]\mathbb{R}^4.[/tex]
(б) Да се намерят базиси на подпространствата [tex]U[/tex] и [tex]V[/tex] на [tex]\mathbb{R}^4.[/tex]

Намирам базиса на [tex]U.[/tex]
[tex]U=l(G_1,G_2), \ \ G_1=E_{11}+E_{14}, \ \ G_2=3E_{12}+E_{13}[/tex]
Какъв е базисът на [tex]V[/tex]?

[Реклама]

[nikko1]

Според мен можеш да действаш така.
От условията [tex]x_1=x_4[/tex] и [tex]x_2=3x_3[/tex] всеки вектор [tex]x\in U[/tex] се представя във вида [tex]x=(\lambda_1,3\lambda_3,\lambda_3,\lambda_1)=\lambda_1(1,0,0,1)+\lambda_2(0,3,1,0)[/tex] и наистина се получава същия базис както при тебе [tex]v_1=(1,0,0,1),\ v_2=(0,3,1,0)[/tex]. Сега да разгледаме [tex]W=\left\{y\in\mathbb{R}^4|y=(y_1,y_2,y_3,y_4),\ y_1+y_2+y_3+y_4=0\right\}[/tex] - линейно пространство с размерност 3 (явява се ортогонално допълнение на едномерно пространство) с базис векторите [tex]w_1=(1,0,0,-1),\ w_2=(0,1,0,-1),\ w_3=(0,0,1,-1)[/tex], т.е. [tex]W=l(w_1,\ w_2,\ w_3)[/tex]. Сега [tex]V=l(v_1,\ v_2,\ w_1,\ w_2,\ w_3)=l(v_1,\ v_2,\ w_2,\ w_3)=\mathbb{R}^4[/tex], понеже
[tex]\left| \begin{array}{rrrr} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 3 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & { - 1} \\ 0 & 0 & { - 1} & 1 \\\end{array} \right| = \left| {\begin{array}{rrr} 3 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & { - 1} \\ 0 & { - 1} & 1 \\\end{array}} \right| = \left| {\begin{array}{rrr} 3 & 1 & 0 \\ 1 & { - 1} & 0 \\ 0 & { - 1} & 1 \\\end{array}} \right| = \left| {\begin{array}{rr} 3 & 1 \\ 1 & { - 1} \\\end{array}} \right| = - 4 \ne 0[/tex] и [tex]v_1,\ v_2,\ w_2,\ w_3[/tex] са 4 линейно независими вектора в четиримерно пространство, т.е. са базис на цялото пространство.
Проверка:
Достатъчно е да докажем, че векторите [tex](1,0,0,0),\ (0,1,0,0),\ (0,0,0,1,),\ (0,0,0,1)[/tex] се изразяват като сума от вида [tex]x+y,\ x\in U,\ y\in W.[/tex]
Наистина
[tex](0,1,0,0)=\frac{1}{4}(v_2+w_2-w_3)=\frac{1}{4}(0v_1+v_2)+\frac{1}{4}(w_2-w_3)\in V[/tex]
[tex](0,0,1,0)=(0,3,1,0)-3(0,1,0,0)=v_2-3\left(\frac{1}{4}v_2+\frac{1}{4}(w_2-w_3)\right)=\frac{1}{4}(0v_1+v_2)+\frac{1}{4}(-3w_2+3w_3)\in V[/tex]
[tex](0,0,0,1)=(0,0,1,0)-(0,0,1,-1)=\frac{1}{4}v_2+\frac{1}{4}(-3w_2+3w_3)-w_3=\frac{1}{4}(0v_1+v_2)+\frac{1}{4}(-3w_2-w_3)\in V[/tex]
[tex](1,0,0,0)=(1,0,0,1)-(0,0,0,1)=v_1-\frac{1}{4}v_2-\frac{1}{4}(-3w_2-w_3)=\frac{1}{4}(4v_1-v_2)+\frac{1}{4}(3w_2+w_3)\in V[/tex]

Дано да нямам грешка в сметките

[Relinquishmentor]

Друг начин: имаме двете подпространства [tex]U[/tex] и [tex]Y[/tex]. Тогава [tex]U\cap Y[/tex] ще е подпространство от вектори, удовлетворяващи следната система:

[tex]z_1 = z_4[/tex]
[tex]z_2 = 3z_3[/tex]
[tex]z_1 = - z_2 - z_3 - z_4[/tex]

Това е линейна хомогенна система от ранг 3 с 4 неизвестни, следователно тя поражда 4-3 = 1 -мерно подпространство. Тогава [tex]\dim (U+Y) = \dim U + \dim Y - \dim(U\cap Y) = 2 + 3 - 1 = 4[/tex]. Значи сумата на двете подпространства - това е цялото пространство [tex]R^4[/tex], с базис, коя да е система от 4 линейно независими вектор -реда.

[2sxy4u]

хахах , това контролно ... няма да е лесно ... успех

[Nona]

Благодаря на всички

@2sxy4u: Успех и на теб!