Доказателсто на свойства: loga(b.c) = logab + logac

[us5girl]

Моля ви, спешно ми трябват доказателства на с-вата на логаритъм(домашно ми е за утре а не мога сама да ги докажа). Ето свойствата:
1) loga(b.c) = logab + logac
2) loga(b/c) = logab - logac
3) log(a)m (b)n = n/m - за да се разбира ще го напиша ясно: логаритръм при основа а, която е на степен m, логаритмувано число b на степен n
4) logаb = logcb/logca

[Реклама]

[ferry2]

виж тук http://www.math10.com/bg/algebra/Logarithm/Identities.html

[us5girl]

Но там обясненията са много кратки...за 1, 2 и 3 имам някаква бегла идея(която най-вероятно да е грешна), но за доказателство на 4 - НИЩО!!!

[NoThanks]

1) и 2) са си основни действия с логаритми. За първи път виждам някой да им иска доказателство
ако 3) действително е
[tex]log_{a^m}b^n = \frac{m}{n}[/tex]
То това е вярно само за a=b.
Относно 4)
[tex]\frac{log_{c}b}{log_{c}a} = \frac{\frac{log_{a}b}{log_{a}c}}{\frac{log_{a}a}{log_{a}c}}= log_{a}b[/tex]
Просто сменяш основата

[us5girl]

Аз за първите 3 се оправих, обаче пак не ми е ясно - по начина по който си написал/а излиза че доказваш твърдение, като използваш същото твардение

[NoThanks]

Не използвам същото твърдение. Просто сменям основата.
[tex]log_{a}b = \frac{log_{c}b}{log_{c}a}[/tex]
А би ли пуснала доказателствата си на 1вите 3?

[us5girl]

Ми че то 4тото изисква да се докаже точно това - смяна на основата.
Ето първото:a(logab+logac) = a(logab) a(logac) = bc и а(loga ot bc)=bc
Същото е за 2

[r2d2]

За доказване на всички логаритмични тъждества използваме, че:

[tex]\log_a p=x \;<=> \; a^x=p[/tex]. Пример [tex] (\log_2 16=4 \;<=> 2^4=16)[/tex].

Ще докажем, че [tex] \log_a pq = \log_a p+ log_a q[/tex].
Нека [tex]\log_a p=x,\; log_a q=y[/tex] или [tex]a^x=p,\;a^y=q[/tex].

Тогава [tex]pq=a^x\cdot a^y=a^{x+y} \;<=>\; x+y=\log_a pq[/tex].

Taка се доказват и останалите.

[NoThanks]

Хаха, малко съм се поизложил с това 4тото 10кс за решението, r2d2. Иначе това 3тото продължавам да си твърдя, че не е вярно даже:
[tex]log_{a^m}b^n = \frac{n}{m}[/tex]
[tex]nlog_{a^m}b=\frac{n}{m}[/tex]
[tex]log_{a^m}b = log_{a^m}(a^m)^{\frac{1}{m}}[/tex]
[tex]b = a[/tex]

[r2d2]

Явно третото е

[tex]1. \log_a b^n=n\log_a b[/tex]

[tex]2. \log_{a^m} b=\frac{1}{m} \log_a b[/tex]

[us5girl]