Две задачи за ъглополовящи: Важно

[galliardo]

Задача№1: Основата на равнобедрен триъгълник е a , а бедрото му е b.Да се докаже, че центърът на вписаната в него окръжност разделя ъглополовящата на ъгъл при основата в отношение (a+b):b, считано от върха.

Задача№2: Даден е триъгълник ABC със страни a,b и c.Да се намери отношението, в което центърът на вписаната окръжност дели ъглополовящата CL, считано от C.

[Реклама]

[Spider Iovkov]

Задача 1. Нека [tex]\triangle ABC[/tex] е даденият триъгълник, точката [tex]J[/tex] е центърът на вписаната окръжност, като [tex]AB=a, AC=BC=b[/tex], и [tex]AL[/tex] е ъглополовящата. Ако означим [tex]\angle BAC=\angle ABC=\alpha[/tex], то [tex]\angle ABJ=\angle BAJ=\angle CAL=\frac{\alpha}{2}, \angle AJB=180^\circ-\alpha, \angle BJL=\alpha, \angle BLJ=180^\circ-\frac{3\alpha}{2}[/tex].
От свойството на ъглополовящата имаме: [tex]\frac{AB}{AC}=\frac{LB}{LC} \Leftrightarrow \frac{LB}{LC}=\frac{a}{b} \Rightarrow LB=ax, LC=bx[/tex]. Като съобразим, че [tex]LB+LC=BC[/tex], то определяме, че [tex]LB=\frac{ab}{a+b}, LC=\frac{b^2}{a+b}[/tex].
[tex]\triangle ABJ:[/tex] [tex]\frac{AB}{sin\alpha}=\frac{AJ}{sin{\frac{\alpha}{2}}} \Leftrightarrow \frac{a}{2sin{\frac{\alpha}{2}}cos{\frac{\alpha}{2}}}=\frac{AJ}{sin{\frac{\alpha}{2}}} \Leftrightarrow \fbox {AJ=\frac{a}{2cos{\frac{\alpha}{2}}}}[/tex] [tex](1)[/tex]
[tex]\triangle BJL:[/tex] [tex]\frac{JL}{sin{\frac{\alpha}{2}}}=\frac{LB}{sin\alpha} \Leftrightarrow \frac{JL}{sin{\frac{\alpha}{2}}}=\frac{LB}{2sin{\frac{\alpha}{2}}cos{\frac{\alpha}{2}}} \Leftrightarrow \fbox {JL=\frac{ab}{2cos{\frac{\alpha}{2}}(a+b)}}[/tex] [tex](2)[/tex]
От [tex](1)[/tex] и [tex](2)[/tex] [tex]\Rightarrow \frac{AJ}{JL}=\frac{\cancel a}{\cancel {2cos{\frac{\alpha}{2}}}}.\frac{\cancel {2cos{\frac{\alpha}{2}}}(a+b)}{\cancel {a}b} \Leftrightarrow \frac{AJ}{JL}=\frac{a+b}{b}[/tex].

[Spider Iovkov]

Задача 2. Нека [tex]\triangle ABC[/tex] е даденият триъгълник и за определеност той да е остроъгълен, [tex]CL[/tex] е ъглополовящата през върха [tex]C[/tex], [tex]L\in AB[/tex], [tex]O[/tex] е центърът на окръжността, вписана в триъгълника, [tex]\angle BAC=\alpha, \angle ACB=\gamma[/tex], [tex]BC=a, AC=b, AB=c[/tex]. Ясно е, че [tex]\angle ACL=\frac{\gamma}{2}, \angle CAO=\angle LAO=\frac{\alpha}{2}, \angle AOC=180^\circ-\frac{\alpha+\gamma}{2}, \angle AOL=\frac{\alpha+\gamma}{2}[/tex].
От свойството на ъглополяваща определяме, че [tex]AL=\frac{bc}{a+b}, BL=\frac{ac}{a+b}[/tex]. След прилагане на синусовата теорема [tex]\triangle AOL[/tex] получаваме:
[tex]\frac{OL}{sin{\frac{\alpha}{2}}}=\frac{AL}{sin{\frac{\alpha+\gamma}{2}}} \Rightarrow OL=\frac{ALsin{\frac{\alpha}{2}}}{sin{\frac{\alpha+\gamma}{2}}} \Leftrightarrow \fbox{OL=\frac{bcsin{\frac{\alpha}{2}}}{(a+b)sin{\frac{\alpha+\gamma}{2}}}}[/tex] [tex](1)[/tex]
Прилагаме синусовата теорема и за [tex]\triangle AOC[/tex] и [tex]\Rightarrow \frac{AC}{sin{\frac{\alpha+\gamma}{2}}}=\frac{CO}{sin{\frac{\alpha}{2}}} \Rightarrow \fbox{CO=\frac{bsin{\frac{\alpha}{2}}}{sin{\frac{\alpha+\gamma}{2}}}}[/tex] [tex](2)[/tex]
От [tex](1)[/tex] и [tex](2)[/tex] [tex]\Rightarrow \frac{CO}{OL}=\frac{\cancel b\cancel {sin{\frac{\alpha}{2}}}}{\cancel {sin{\frac{\alpha+\gamma}{2}}}}.\frac{(a+b)\cancel {sin{\frac{\alpha+\gamma}{2}}}}{\cancel bc\cancel {sin{\frac{\alpha}{2}}}} \Leftrightarrow \frac{CO}{OL}=\frac{a+b}{c}[/tex].

[ганка симеонова]

Емо, всичко което си написал е чудесно, но това са задачи от 9 клас и трябва само неколкократно, да се приложи свойството на ъглополовящата.
В 9 клас никой не е чувал за синусова теорема.

[Spider Iovkov]

Задача 2. Ако [tex]\triangle ABC[/tex] е даденият триъгълник, [tex]AL[/tex] е ъглополовяща, [tex]\angle BAC=\alpha[/tex], [tex]BC=a, AC=b, AB=c[/tex] и точката [tex]O[/tex] е център на вписаната в триъгълника окръжност, то от свойството на ъглополовящата следва, че [tex]LA=\frac{bc}{a+b}, LB=\frac{ac}{a+b}[/tex] (което е доказано по-горе). Но [tex]\angle CAO=\angle LAO=\frac{\alpha}{2}[/tex], тоест [tex]O \in l_{a}[/tex]. Тогава ще е изпълнено [tex]\frac{AC}{AL}=\frac{CO}{OL} \Leftrightarrow \frac{CO}{OL}=\frac{\cancel b(a+b)}{\cancel bc} \Leftrightarrow \frac{CO}{OL}=\frac{a+b}{c}[/tex].