Турнир на градовете

[Пафнутий]

Това са задачите от тренировъчните и от основните варианти за 7-9 и 10-12 клас.
Тренировъчен вариант 7-9 клас
1 задача: В 10 кутии са сложени моливи така, че всеки две кутии съдържат различен брой моливи.Всеки два молива от една и съща кутия са различни по цвят.Докажете, че от всяка кутия може да е избере един молив така, че измежду избраните моливи да няма едноцветни (3 точки)
2 задача: Дадени са 50 естествени числа, половината от които не надхвърлят 50, а другата половина са по-големи от 50, но не надхвърлят 100.Разликата на никой две числа не е 0 или 50. Да се намери сборът на петдесетте числа. (3 точки)
3 задача: В окръжност с радиус 2 е вписан остроъгълен триъгълник [tex]A_{1}A_{2}A_{3}[/tex].Докажете, че на дъгите [tex]A_{1}A_{2},A_{2}A_{3},A_{3}A_{1}[/tex] може да се избере по 1 точка (съответно [tex]B_{1},B_{2},B_{3}[/tex]) така, че лицето на шестоъгълник [tex]A_{1}B_{1}A_{2}B_{2}A_{3}B_{3}[/tex] да е число, равно на периметъра на триъгълник [tex]A_{1}A_{2}A_{3} [/tex]. (4 точки)
4 задача: Дадени са три различни естествени числа, като едно от тях е равно на полусбора на другите 2.Възможно ли е произведението на тези три числа да е точна 2008-ма степен на естествено число. (4 точки)
5 задача Няколко спортисти стартирали едновременно от единия край на права писта, като всеки бягал с различна (но постоянна) скорост.В край на пистата спортистите моментално обръщали и хуквали в другата посока със същата скорост.Известно време след старта всички състезатели се намирали в една и съща точка от пистата.Да се докаже, че ще има и други такива срещи. (4 точки)
Основен вариант 7-9 клас
1 задача: На шахматна дъска 100x100 са поставени 100 царици така, че никои две от тях не се заплашват.Докажете, че във всеки ъглов квадрат 50x50 има поне една царица. (4 точки)
2 задача: Дадени са 4 камъка, всеки от които тежи цяло число грамове.Дадена е везна с 2 блюда, която отчита разликата в теглата на дясното и лявото блюдо.Можем ли с 4 претегляния да определим теглото на всеки камък, ако при едно то претеглянията е възможна грешка от 1 грам? (6 точки)
3 задача: Запрян нарисувал триъгълник [tex]ABC[/tex] и построил медианата [tex]AD[/tex].След това съобщил на Момчил дължината на медианата [tex]AD[/tex] и дължината на страната [tex]AC[/tex].По тази информация Момчил доказал, че [tex]\angle CAB[/tex] е тъп, а [tex]\angle DAB[/tex]- остър.Намерете съотношението [tex]AD:AC[/tex](и докажете, че във всеки триъгълник с това съотношение твърдението на Момчил е вярно). (6 точки)
4 задача: Барон Мюнхаузен разказва, че притежава карта на страната Оз.На картата има 5 града, всеки два от които са свързани с директен път (т.е път, който не минава през друг град).Всеки път пресича не повече от 1 друг (и не повече от веднъж).На картата пътищата са пимбян или морав и при обхождане на всеки град (по границата), цветовете на излизащите от него пътища се редуват.Възможно ли е барон Мюнхаузен да казва истината? (6 точки)
5 задача: Дадени са положителните числа [tex]a_{1},a_{2},...,a _{n}[/tex].Известно е, че [tex]a_{1}+a_{2}+...+a_{n}\le \frac{1}{2}[/tex].Докажете, че
[tex](1+a_{1})(1+a_{2})...(1+a_{n}) <2[/tex] (8 точки)
6 задача:Даден е неравнобедрен триъгълник [tex]ABC[/tex].Външно за триъгълника са построени равнобедрени триъгълници [tex]AB'C[/tex] и [tex]BA'C[/tex] с основи съответно [tex]AC[/tex] и [tex]BC[/tex] и ъгли при основата равни на [tex]\varphi[/tex].Правата през върха [tex]C[/tex], перпендикулярна на [tex]A'B'[/tex], пресича симетралата на [tex]AB[/tex] в точка [tex]C'[/tex].Да се намери [tex]\angle AC'B[/tex]?(9 точки)
7 задача: В безкрайната редица [tex]a_{1},a_{2},...., a_{n}[/tex] числото [tex]a_{1}=1[/tex], а всяко следващо число [tex]a_{n}[/tex] се получава от предишното [tex]a_{n-1}[/tex] по следното правило: ако най-големият нечетен делител на [tex]n[/tex] дава остътък 1 при деление на 4 , то [tex]a_{n}=a_{n-1}+1[/tex], ако този остатък е равен на 3, то [tex]a_{n}=a_{n-1}-1[/tex]. Докажете, че в редицата:
а) числото 1 се среща безброй мого пъти. (5 точки)
б) всяко естествено число се среща безброй много пъти.(5 точки)
ПП Задачите за 10-12 клас ще пусна утре след училище

[Реклама]

[Пафнутий]

Ето ги и тях
Тренировъчен вариант 10-12 клас

1 задача. Алекс купил няколко кутии със сладки и записал броя на сладките във всяка кутия. Серж сложил по една сладка от всяка кутия в първата чиния, след това във втора чиния сложил по една сладка от всяка непразна кутия и т.н. Щом изпразнил всички кутии, Серж записал броя на сладките във всяка чиния. Докажете, че броят на различните числа, записани от Алекс, е равен на броя на различните числа, записани от Серж.

2 задача. Решете системата уравнения (n>2):

[tex]sqrt{x_1}+ sqrt{x_2 + x_3 + ... + x_n} = sqrt{x_2} + sqrt{x_3 + x_4 + ... + x_n + x_1} = ... = sqrt{x_n} + sqrt{x_1 + ... + x_n}; x_1 - x_2 = 1[/tex].

3 задача. В окръжност с радиус 2 е вписан 30-ъгълник [tex]A_1A_2...A_{30}[/tex]. Докажете, че на дъгите [tex]A_1A_2, A_2A_3, ..., A_{30}A_1[/tex] може да се избере по една точка(съответно [tex]B_1, B_2, ..., B_{30}[/tex]) така, че лицето на 60-ъгълника [tex]A_1B_1A_2B_2...A_{30}B_{30}[/tex] да е равно на периметъра на 30-ъгълника [tex]A_1A_2...A_{30}[/tex].

4 задача. Съществува ли аритметична прогресия от пет естествени числа, чието произведение е точна 2008-а степен на естествено число?

5 задача. На безкрайна квадратна мрежа са нарисувани няколко правоъгълника със страни върху линиите на мрежата. Всеки от тях се състои от нечетен брой квадратчета и никои два правоъгълника нямат общо квадратче. Докажете, че всеки правоъгълник може да се оцвети така, че контурите на едноцветните правоъгълници да не се пресичат.

[astateoftrance]

Кажете сега кой какво е направил, аз бях скромен

[broniran_potnik]

Аз от тренировъчните реших 1-4, а от основния 1,4,5,7 - да се надяваме, че нямам тъпа техническа от 7-9 клас говоря
ПП Някой има ли идея за 6 от основния 7-9?

[broniran_potnik]

Стига де, никой ли не може да реши 6 от основния вариант за 7-9 клас?

[Пафнутий]

Аз ще напиша накратко решенията си и нека всеки, които има различно решение или пък е решил някоя от другите задачи да пише
тренировъчния 7-9
1) Нареждаме ги по брой на моливите т.е ако означим [tex]i[/tex]-тата кутия по брой с [tex]A_{i}[/tex] и [tex]A_{1}<A_{2}<...<A_{10} [/tex]. Тогава от условието в [tex]i[/tex]-тата кутия има поне [tex]i[/tex] на брой разноцветни моливи и очевидно тогава можем от всяка да изтеглим по 1 молив с различен цвят.
2) Ако [tex]X[/tex] е нашето множество, а [tex]Y[/tex] е множеството на числато от 1 до 100 непринадлежащи на [tex]X[/tex]. Ако [tex]x_{1},x_{2},...., x_{50}[/tex] са елементите на [tex]X[/tex],а [tex]y_{1},y_{2},...,y_{50}[/tex]. Тогава от условието имаме [tex]x_{i}+50=y_{i}[/tex] за [tex]i \in [1,50][/tex] и [tex]x_{j}+50=y_{j}[/tex] за [tex]j \in (50,100][/tex].Лесно достигаме до [tex]\sum_{i=1}^{50} x_{i}=\sum_{j=1}^{50} y_{j}[/tex], т.е [tex]\sum_{i=1}^{50} x_{i}=\frac{100.101}{4}=2525[/tex]
3)Нека т.O да е центъра на окръжността. За определеност ще белижим лицето на шестоъгълника с [tex]S[/tex], а периметъра на триъгълника с [tex]P[/tex] и страните на триъгълника нека бъдат [tex]a,b,c[/tex]. Тогава [tex]S=S_{OA_{1}B_{3}A_{3}}+S_{OA_{2}B_{2}A_{3}}+S_{OA_{1}B_{2}A_{2}}[/tex]. Като използваме формулата за лице на четириъгълник [tex]\frac{d_{1}d_{2}.sin \alpha}{2}[/tex] за горните четириъгълници и използвайки, че [tex]S=P[/tex] достигаме до [tex]a.sin \alpha+b.sin \beta +c.sin\gamma=a+b+c[/tex], където[tex] \alpha,\beta,\gamma[/tex] са ъглите при пресичане на правите [tex]OB_{i}[/tex] с [tex]A_{i}A_{i+1}[/tex] но понеже [tex]sin \alpha \le 1\Rightarrow a.sin\alpha\le a[/tex], то равенство се достига при [tex]\alpha =\beta =\gamma =90^\circ[/tex] , с което твърдението е доказано и даже доказахме, че точките са единствени.
4) Да. Имаме [tex]a.b\frac{a+b}{2}=r^{2008}[/tex] и нека [tex]a=kb[/tex], тогава имаме [tex]b^3.\frac{(k+1)k}{2}=r^{2008}[/tex] и е достатъчно [tex]b[/tex] да е точна 669-та степен на [tex]\frac{(k+1)k}{2}[/tex].
състезателен вариант 7-9
1) Да допуснем, че е в един квадрат няма царици и Б.О.О той да е долния десен. Тогава трябва в горния десен и долния ляв да са всички царици. Техните диагонали обаче взаимно се атакуват. Имаме обаче 100 царици и 2.49+1=99 диагонала, т.е имаме 2 царици на 1 диагонал-противоречие.
4)Понеже един триълник има 3 страни, а ги боядисваме с 2 цвята, то има 2 съседни върха, които са еднакво оцветени, т.е Барон Мюнхаузен лъже (каква изненада!!)
5) От средно аритметично- средно геометрично и от [tex]\sum_{i=1}^n a_{i}\le 2[/tex] имаме:
[tex](1+a_{1})(1+a_{2})...(1+a_{n})\le (\frac{n+\frac{1}{2}}{n})^n =(1+\frac{1}{2n})^n=\sqrt{(1+\frac{1}{2n})^{2n}}\le \sqrt{e}<2 [/tex], където [tex]e[/tex] е неперовото число.
7) Беше задача на седмицата
ПП Айде някой вече да напише решение на 6) от основния за 7-9

[zhivko_sh]

Ето ви решение на 6 задача, която не е кой знае колко трудна (да не кажа, че е лесна):

Ще док., че търсения ъгъл е [tex]2\varphi [/tex]. Нека K е точка върху симетралата така, че [tex] \angle AKB=2\varphi [/tex]. Тогава [tex] \angle KAB=\angle KBA=90-\varphi [/tex]. Нека [tex]A'C=A'B=a, B'C=C'A=b, KA=KB=c, B'K=x, A'K=y[/tex]. Целта ни е да докажем, че [tex] CK\bot A'B'[/tex]. За да докажем това е достатъчно да докажем, че [tex] B'K^{2}-A'K^{2}=B'C^{2}-A'C^{2}[/tex] , т.е. [tex] x^{2}-y^{2}=b^{2}-a^{2}[/tex](това е много лесно да се види и всеки може да го направи - ако това равенство е в сила допускаме, че петите от C и K не съвпадат и получаваме лесно противоречие от Питагоровата). Но от 2 косинусови теореми за AKB' и A'BK се получава: [tex] x^{2}=c^{2}+b^{2}-2bc.cos(90+\alpha)[/tex] и [tex] y^{2}=c^{2}+a^{2}-2ac.cos(90+\beta )[/tex], където [tex] \alpha [/tex] и [tex] \beta [/tex] са стандартните ъгли на триъгълника при А и B съответно. Тогава [tex] x^{2}-y^{2}=b^{2}-a^{2}[/tex] става еквивалентно на [tex]-2bc.cos(90+\alpha)=-2ac.cos(90+\beta ) [/tex] (като се заместят x^2 и y^2). Значи трябва да докажем, че [tex]-b.cos(90+\alpha)=-a.cos(90+\beta ) [/tex]. Но [tex]-cos(90+\alpha)=cos(90-\alpha )=sin \alpha [/tex] и аналогично [tex]-cos(90+\beta )=sin \beta [/tex]. Значи остава да докажем, че [tex]b.sin \alpha =a.sin \beta [/tex] или [tex]\frac{b}{a }=\frac{sin \beta }{sin \alpha } =\frac{AC}{BC } [/tex] (последното от синусова теорема за ABC). Остава да кажем ,че [tex]\frac{b}{a} =\frac{AC}{BC } [/tex] следва от подобието на ACB' и A'BC. Значи [tex] CK\bot A'B'[/tex]. Но по условие [tex] CC'\bot A'B'[/tex]. Но симетралата и височината от C към A'B' се пресичат в една точка(тук използваме, че триъгълника е неравнобедрен - иначе правите щяха да съвпадат) и значи K=C', т.е. [tex] \angle AC'B=2\varphi [/tex].

[Пафнутий]

Да, ама не... В 9 клас нито се учи нито синусова, нито косинусова теореми.И не бих казал, че задачата е толкова лесна.Въпреки това, решението ти е наистина добро

[zhivko_sh]

Да, съгласен съм, че 7-9 клас не учат тригонометрия, но аз не съм 10 клас . Иначе вероятно става със съвпадение и без да се вкарва тригонометрия.

[r2d2]

Нека М е другата прес. точка на окр. [tex]k1(A_1;A_1C);\; k2(B_1;B_1C)[/tex]. Ясно е, МС е перп. на А1В1. Означаваме [tex]x = \angle MCB \; y= \angle MCA[/tex].
[tex]\angle B_1MA_1=\angle B_1CA_1=x+y+2f.[/tex]
[tex]\angle MA_1B=2x \Rightarrow \angle A_1MB = 90-x[/tex] и аналогично [tex] \angle B_1MA = 90-y[/tex] Пресмятаме [tex]\angle AMB= 180-2f.[/tex]

Нека К е точка от симетралата на АВ, такава че К и М са от разл. полуравнини спрямо АВ и [tex]\angle AKB = 2f[/tex]. Toгава АКВМ е вписан и [tex]\angle BAK =90-f = \angle BMK.[/tex] Лесно се пресмята, че[tex] \angle KMC =\angle KMB +\angle A_1MB +\angle A_1MC= 90-f+90-x+x+f=180[/tex].

K,M и С лежат на една права.

Случаите С≡М и М външна за АВС са аналогични.

[r2d2]

[Пафнутий]

Очаквах точно това някой да го напише... Просто исках да кажа, че ако я беше решил със знания 7-9 съм съгласен, че има правото да пише, че е елементарна.Аз никъде не съм казвал, че тази задача, както и няколкото дето не съм решил, че са лесни.

[r2d2]

Всяка задача, която човек е решил, вече му се струва лесна!

Естествено да я наричаш елементарна е:

1. Признак на лошо възпитание (след като си видял, че друг не я е решил)
2. Комплекси
3. МГейщина (мале, това има ли общо със СърГей?)

[Пафнутий]

http://www.math.bas.bg/tgr/ Ето ги резултатите от турнира на градовете, както и решенията на задачите. Аз съм втори