пак ирационално

[estoyanovvd]

Решете уравнението

[Реклама]

[ганка симеонова]

На прима виста, полагаме: [tex]\sqrt{x^2+1}=a; x=b=>a^2-b^2=1=>(a^2-b^2)^2=1 [/tex]
Тогава уравнението добива вида [tex]16(a^2+b^2)ab=3(a^2-b^2)^2=>16a^3b+16ab^3-3a^4+6a^2b^2-3b^4=0 [/tex]
Това е хомогенно уравнение от 4 степен. Решаваме го с деление на [tex]b^4[/tex] и получаваме [tex]\frac{a}{b }=6 [/tex]
[tex]=>\sqrt{x^2+1}=6x=>x=\frac{1}{ \sqrt{35} } [/tex]

EDIT: Това беше на прима виста. Може и да има по- оригинално и кратко решение.

[Spider Iovkov]

[tex]DM_{x}: x>0; \\ 16x(2x^2+1)\sqrt{x^2+1}=3 /^2 \Rightarrow 256x^2(2x^2+1)^2(x^2+1)=9 \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow 256x^2(2x^2+1)^2(2x^2+1-x^2)=9; \\ 2x^2+1=u \Rightarrow x^2=\frac{u-1}{2}, \frac{u-1}{2}\ge 0; \\ \frac{\cancel {256}(u-1)}{\cancel 2}.u^2.(u-\frac{u-1}{2})=9 \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow \frac{\cancel {128}(u-1)u^2(2u-u+1)}{\cancel 2}=9 \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow 64(u-1)u^2(u+1)=9 \Leftrightarrow 64u^2(u^2-1)=9; u^2=t, t\ge0 \Rightarrow \\ \Rightarrow 64t(t-1)=9 \Leftrightarrow 64t^2-64t-9=0 \Leftrightarrow t_{1}=\frac{9}{8}, t_{2}=-\frac{1}{8}; t_{1}>0, t_{1}\in DM_{t}; t_{2}<0, t_{2}\cancel \in DM_{t};[/tex]
[tex]u^2=t \Rightarrow u^2=\frac{9}{8} \Rightarrow u_{1,2}=\pm \frac{3\sqrt{2}}{4};[/tex]
[tex]x^2=\frac{u-1}{2} \Rightarrow x^2=\frac{\frac{3\sqrt{2}}{4}-1}{2} \Leftrightarrow x^2=\frac{3\sqrt{2}-4}{8} \Rightarrow x_{1,2}=\pm \frac{\sqrt{{6-4\sqrt{2}}}}{4}[/tex], като за решение остава само [tex]x=\frac{\sqrt{6-4\sqrt{2}}}{4}[/tex].

[r2d2]

[ганка симеонова]

[r2d2]