Намиране на оставащтата площ в полуокръжност

[Sparksmith]

Следната задача:

Отсечката АВ = 2R е разделена от точка С на 2 равни части.От една и съща страна на отсечката АВ са построени 2 полу окръжности с d₁=AB , d₂=BC, d₃=BC и окръжност К допираща се до 3те. Да се намери збора от лицата на получените 3 криволинейни триъгълника.

Отг. : 5/36 πR²

Започнах по най-лесния според мен начин: Намерих лицата на полуокръжностите и извадих 2те по-малки от най-голчмата и сега търсч лицето на малката окръжност но имам проблем с намирането на радиуса. Може ли да ми помогнете . Благодаря оредварително.

[Реклама]

[voknid]

Виж този чертеж и пиши дали е нещо такова. На чертежа BE = AB от условието и т.A съответствува на т.C от условието (сравни чертежа с условието на задачата)
Лесното е:
[tex]S=\frac{\pi r^{2}}{2} - \pi \left(\frac{r}{2}\right)^{2} - \pi \left(r_{k}\right)^{2}[/tex]
Осттава трудното - да се намери [tex]KF = r_{k}=?[/tex], изразено чрез [tex]AB=r[/tex]. Мисля че [tex]r_{k} = \frac{r}{3}[/tex], но как се доказва? Центровете на вътрешните окръжности са върхове на равнобедрен триъгълник [tex]DCK[/tex] с основа [tex]DC = r[/tex]. Бедрата [tex]DK=CK=\frac{r}{2} + r_{k}[/tex]. Височината [tex]KA=r - r_{k}[/tex]. Ако разгледаме едната му половина като правоъгълен триъгълник [tex]ACK[/tex] и решим уравнението [tex]\left(\frac{r}{2}+r_{k}\right)^{2}=\left(\frac{r}{2}\right)^{2}+\left(r-r_{k}\right)^{2}[/tex] можем да намерим [tex]r_{k}[/tex].

[tex]\cancel{\left(\frac{r}{2}\right)^2}+2\left(\frac{r}{2}\right)r_{k}+\cancel{r_{k}^2}=\cancel{\left(\frac{r}{2}\right)^2}+r^2-2rr_{k}+\cancel{r_{k}^2}[/tex]

[tex]2\left(\frac{r}{2}\right)r_{k}+2rr_{k}=r^2[/tex]

[tex]2r_{k}\left(\frac{r}{2}+r\right)=r^2[/tex]

[tex]r_{k}=\frac{r^2}{2\left(\frac{r}{2}+r\right)}=\frac{r^2}{r+2r}=\frac{\cancel{r}.r}{\cancel{r}\left(1+2\right)}=\frac{r}{3}[/tex]

Заместваме [tex]r_{k}[/tex] с [tex]\frac{r}{3}[/tex]

[tex]S=\frac{\pi r^{2}}{2} - \pi \left(\frac{r}{2}\right)^{2} - \pi \left(\frac{r}{3}\right)^{2}=\frac{\pi r^{2}}{2} - \frac{\pi r^{2}}{2^{2}} - \frac{\pi r^{2}}{3^{2}}=\pi r^{2}\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{4}-\frac{1}{9}\right)=\pi r^{2}\left(\frac{18}{36}-\frac{9}{36}-\frac{4}{36}\right)=\frac{5\pi r^{2}}{36}[/tex]

Е, друго си е някой да ти помогне! +1 глас за seppen

[_sssss]

Ако радиуса на малката окръжност е r:
AK=R-r;
DA=R/2;
DK=R+r;

DK²=DA²+AK²
=> r=R/3;

S₁=pi*R²/9
S₂=pi*R²/8
S₃=pi*R²/8
S₄=pi*R²/2

S₄ - S₁ - S₂ - S₃=5piR²/36