Функция - дефиниционната област, асимптоти, екстремуми

[ВишаМатематика]

Да се определят:
а/ дефиниционната й област;
б/ асимптотите на функцията, ако има такива;
в/ екстремумите на функцията;
г/ инфлексната й точка;
Постройте графика на функцията в интервала .

Дадена е функцията.

[Реклама]

[Spider Iovkov]

[tex]y=\frac{2x^3-5x^2+14x-6}{4x^2}[/tex]
Очевидно дефиниционното множество на функцията ще се състои от тези стойности на променливата, за които знаменателят не е нула, тоест [tex]x\neq 0[/tex].
За удобство да означим [tex]2x^3-5x^2+14x-6=u,[/tex] [tex]4x^2=v[/tex]. Тогава [tex]y'=(\frac{u}{v})'=\frac{u'v-uv'}{v^2}, v\neq 0[/tex]. Последователно намираме производните на [tex]u[/tex] и [tex]v[/tex]:
* [tex]u'=(2x^3-5x^2+14x-6)'=(2x^3)'-(5x^2)'+(14x)' \Rightarrow u'=6x^2-10x+14[/tex];
* [tex]v'=(4x^2)' \Rightarrow v'=8x[/tex].
Сега вече можем да намерим [tex]y'[/tex]: [tex]y'=\frac{(6x^2-10x+14)4x^2-(2x^3-5x^2+14x-6)8x}{(4x^2)^2}=\frac{24x^4-\cancel {40x^3}+56x^2-16x^4+\cancel {40x^3}-112x^2+48x}{(4x^2)^2} \Rightarrow y'=\frac{8x^4-56x^2+48x}{16x^4}[/tex].
За да определим екстремумите на функцията, трябва да съобразим в кои точки първата производна евентуално е равна на нула. Това са точките, анулиращи нейния числител: [tex]8x^4-56x^2+48x=0 \Leftrightarrow x(x^3-7x+6)=0[/tex]. Трябва за изясним и в кои интервали първата производна е монотнна – растяща или намаляваща. За целта решаваме [tex]8x^4-56x^2+48x>0[/tex], което е еквивалентно на [tex]x(x-1)(x-2)(x+3)>0[/tex] (разложено чрез таблицата на Хорнер и посредством правилото за деление на полиноми). Решенията на това неравенство са [tex]x\in (-\infty;-3)\cup (0;1)\cup (2;+\infty)[/tex]. Забелязваме, че в краищата на интервалите производната сменя знака си, тя го сменя от [tex]+[/tex] в [tex]-[/tex], когато аргументът приеме стойност [tex]3[/tex], от [tex]-[/tex] в [tex]+[/tex], когато аргументът е [tex]0[/tex], но тук няма да съществува екстремум, защото това е недопустима стойност за променливата, понеже анулира знаменателя, от [tex]+[/tex] в [tex]-[/tex], когато аргументът е [tex]1[/tex], и от [tex]-[/tex] в [tex]+[/tex], когато на аргумента дадем стойността [tex]2[/tex]. Тогава функцията ще има два локални минимума в точките [tex]x=1[/tex] и [tex]x=-3[/tex] и локален максимум в точката [tex]2[/tex]. Да пресметнем тези екстремуми:
[tex]y_{min}=y(1)=\frac{2-5+14-6}{4} \Leftrightarrow y_{min}=y(1)=\frac{5}{4}; \\ y_{min}=y(-3)=\frac{2(-3)^3-5(-3)^2-14.3-6}{4(-3)^2} \Leftrightarrow y_{min}=y(-3)=-\frac{147}{36}; \\ y_{max}=y(2)=\frac{2.2^3-5.2^2+14.2-6}{4.2^2} \Leftrightarrow y_{max}=y(2)=\frac{9}{8}[/tex].
Сега трябва да проверим дали дадената функция има асимптоти – вертикална, хоризонтална или наклонена асимптота. Асимптотата представлява права, която се приближава неограничено до графиката на дадена функция, но никога не се допира до нея.
За да съществува вертикалната асимптота, е нужно да е изпълнено условието [tex]\lim_{x\to\ x_{0}}f(x)=\pm \infty[/tex], където [tex]x_{0}[/tex] е точка на прекъсване. В случая това е точката [tex]x_{0}=0[/tex] (според дефиниционното множество това е недопустима стойност на променливата). Тогава дадената функция ще има вертикална асимптота [tex]x=0[/tex].

[Garoll]

Това, че функцията не е дефинирана в точката 0 изобщо не значи, че не е дефинирана в околност на точката 0.


Какъв е смисълът да му решаваш задачата при положение, че я има във всеки учебник???
Пълно е с малоумници, които не са си направили труда да прочетат 1 ред и с цялата си глупост си мислят, че като видат решението на 1 задача ще я разберат?

[Garoll]

Така и не разбрах това

[qazwsxedc]

може би че функцията има вертикална асимптота съвпадаща със точката си на прекъсване (дефиниционното множество)

[qazwsxedc]

http://www.math10.com/forumbg/viewtopic.php?t=7768

[Garoll]

Тъпо е просто да се редактират постове, в началото пишеше, че щом функцията не е дефинирана в точката 0, то тя няма вертикална асимптота, защото нямала граница в точката 0.....

[qazwsxedc]

извинявай , не знаех че така е било написано