Граница + логаритъм

[MJ]

Имам проблем със следнитe задачи :

lim [tex]\frac{loga^{n}}{n} [/tex] като n -> [tex]\infty [/tex]



и



lim [tex]\sqrt[n]{n} [/tex]=1 като n->[tex]\infty [/tex]



Meрси предварително

[Реклама]

[gdimkov]

[tex]\frac {\log a^n}{n}=\frac {n.\log a}{n}[/tex]. Да няма грешка в условието при преписване?

[tex]\sqrt[n]{n} =n^{\frac {1}{n}},\,\ln n^{\frac {1}{n}}=\frac {\ln n}{n}\,\rightarrow \,0[/tex], тъй като е известно, че логаритъм клони по-бавно към безкрайност от n. Ако това не е известно, много просто се прилага правилото на Лопитал.

[r2d2]

Имаме [tex](1+x)^n=1+nx+\frac{n(n-1)}{2}x^2+\cdots .[/tex] Тогава ако х>0 имаме
[tex](1+x)^n>\frac{n(n-1)}{2}x^2[/tex]. Да положим [tex]x=\sqrt[n]{n}-1[/tex]. Ясно е, че х>0. Получаваме [tex]n>\frac{n(n-1)}{2}(\sqrt[n]{n}-1)^2[/tex]
или [tex](\sqrt[n]{n}-1)^2<\frac{2}{n-1}[/tex].

Понеже[tex] \frac{2}{n-1}->0[/tex] получихме, това което искахме!

[Relinquishmentor]

Тъй като [tex]\sqrt[n]{n} \ge 1[/tex], то ако [tex]\varepsilon >0[/tex] ще следва, че [tex]\sqrt[n]{n} \ge 1 > 1[/tex][tex] - \varepsilon[/tex] за всяко [tex]n[/tex]. Установихме неравенството:

[tex]1-\varepsilon <\sqrt[n]{n} [/tex] за всяко [tex]n[/tex]

От друга страна, съгласно добре известно твърдение, ще съществува такова естествено число [tex]\nu[/tex], че при [tex]n>\nu[/tex] ще е вярно неравенството:

[tex]n<(1+\varepsilon)^n[/tex] или [tex]\sqrt[n]{n} < 1+ \varepsilon[/tex] , тъй като [tex]1+\varepsilon > 1[/tex]

Следователно при [tex]n>\nu[/tex] са изпълнени и двете неравенства, т.е.:

[tex]1-\varepsilon<\sqrt[n]{n}<1+\varepsilon[/tex] или

[tex]\mid\sqrt[n]{n}-1\mid<\varepsilon[/tex]

[gdimkov]

Последните две решения много ми харесаха