3f(2x+1)=f(x)+5x

[kenserante]

3f(2x+1)=f(x)+5x
Моля ако може някои да покаже сравнително лесно решение, защото това което измислих ми се вижда прекалено сложно.

П.С.: Да се намери [tex]f(x):R -> R[/tex]

[Реклама]

[ferry2]

А какво е условието !

[blqaa]

[tex]f\left(x\right)=x-\frac{3}{2}[/tex]?

[dim]

[blqaa]

Ако [tex]f\left(x\right)[/tex] е от вида [tex]a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_{0}[/tex] доказах, че е единствено решение.

[dim]

[kenserante]

До тук сичко е ок, само че разсъжденията са само за полиномиална функция, условието е за произволна непрекъсната...т.е. нз как сте го докажете тва? Иначе ако е полиномиална е ясно защото при фиксирано а>0 f(2x+1) ще стане по-голямо от f(x)+5x за някое х към безкрайност.Съответното за а<0 по-малко. Но как ще докажете че функцията е полиномиална??

[gdimkov]

Ако предположим, че търсената функция е развиваема в стетенен ред (?), можем да разсъждаваме така. Нека

[tex]f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots [/tex]

[tex]F(x)=3f(2x+1)-f(x)=5x[/tex]
[tex]F''(x)=0\,\rightarrow 12f''(2x+1)-f''(x)\equiv 0[/tex]
Заместваме в последното тъждество съответните степенни редове. Полученият степенен ред е тъждествено равен на нула, което е възможно само, ако всичките му коефициенти са нули. Тук следват едни малко мъгляви разсъждения, но май са правилни. Резултатът е, че само [tex]a_0[/tex] и [tex]a_1[/tex] са различни от нула и с още малко сметки се получава единственото решение [tex]f(x)=x-\frac {3}{2}[/tex].

[Baronov]

[dim]

Всъщност можем ли да докажем, че функцията има вид на полином изобщо? Аз не се сещам как, но ще ми е интересно да видя решение на проблема ако някой се е сетил.

[gdimkov]

Най-напред трябва да видим и прочетем условието дума по дума. Може да има нещо пропуснато.

[dim]

Да, примерно f(x) да е полином