Интересна -смесена.. :)

[Mastinka90]

Даден е остроъгълен триъгълник ABC със страни АС=b,BC=a,в който е построена една права MN(M e AC,N e AB) ,която е перпендикулярна на АВ.Лицата на AMN и MNBC са равни.Намерете радиуса на описаната около MNBC окръжност

[Реклама]

[NoThanks]

Около MNBC НЕ може да се опише окръжност, ако ABC е остроъгълен

[Mastinka90]

а ако е произволен как се решава??

[NoThanks]

От това, че около MNBC може да се опише окръжност, и че MNB = 90 => АCB = 90, т.е триъгълникът ABC е правоъгълен. Имаме BC=a; AC=b. Нека CM = x; AM=b-x;. Тъй като ъглите при N и C са прави, то диаметърът на описаната около 4ъгълника окръжност е BM, t.e BM=2R.Сега пресичаме MN и BC. От ABC имаме:
[tex]sin\alpha = \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} = \frac{MN}{AM}=\frac{MN}{b-x} \rightarrow MN = \frac{a(b-x)}{\sqrt{a^2+b^2}}[/tex]
В MCQ:
[tex]sin\alpha = \frac{CM}{QM} = \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} \rightarrow MQ = \frac{x\sqrt{a^2+b^2}}{a}[/tex]
Сега
[tex]CQ^2 = \frac{x^2(a^2+b^2)}{a^2}-x^2 = \frac{x^2b^2}{a^2} \rightarrow CQ = \frac{bx}{a}[/tex]
Имаме обаче, че ▲ANM≈▲CMQ
[tex](\frac{b-x}{ \frac{x\sqrt{a^2+b^2}}{a}})^2 = \frac{S_{AMN}}{S_{CMQ}}[/tex]
A от подобието на BNQ и ANM имаме:
[tex](\frac{b-x}{\frac{a^2+bx}{a}})^2 = \frac{S_{ANM}}{S_{BNQ}}[/tex]
[tex]S_{CMQ} = \frac{S_{AMN}}{(\frac{b-x}{ \frac{x\sqrt{a^2+b^2}}{a}})^2}[/tex]
[tex]s_{BNQ} = S_{MNBC}+S_{CMQ} = S_{AMN}+S_{CMQ} = \frac{S_{AMN}}{(\frac{b-x}{\frac{a^2+bx}{a}})^2}=S_{AMN} + \frac{S_{AMN}}{(\frac{b-x}{ \frac{x\sqrt{a^2+b^2}}{a}})^2}[/tex]
Сега от това уравнение намираме връзка м/у x,a и b, което беше и целта на занятието защото
[tex]BM= \sqrt{a^2+x^2} = 2R[/tex] (2те страни на у-ето са различни, т.е не се получава 0 = 0, обаче нещо много ме заболяха очите и няма да го решавам )

[Mastinka90]

Дотук всичко ок,но накрая се получава точно 1=1..Изразявах и с лица,и страни и всичко..и междудругото няма смисъл от токова писани,защото всичко по-горе се извежда чрез поодбни триъгълници

[ганка симеонова]

Отплесвате се, от същественото в задачата. Т.к. ъглите при върховете С и N на вписания четириъгълник NBCM са прави=> МВ е диаметър на тази окръжност
[tex]\Delta ANC\approx \Delta ACB=>k=\frac{1}{\sqrt{2} } =>MN=\frac{a}{\sqrt{2} } ; AN=\frac{b}{ \sqrt{2} } =>NB=c-\frac{b}{ \sqrt{2} } [/tex] ( c=AB)
Остава да приложим питагорова теорема за [tex]\Delta NBM [/tex]
=>[tex]MB^2=\frac{a}{2 } +(c-\frac{b}{\sqrt{2} } )^2 [/tex]
Мисля, че по- нататък е ясно.

[NoThanks]

[Mastinka90]

не,аз я направих по друг начин..Просто като се докажат подобните триъгълници и страните се изразяват една чрез друга..-чрез а,b,x..И накрая просто се използва зададеното в условието равенство на лица..По-лесно е да се изрази S(abc)=2S(amn)..