Математическо доказателство на една теория

[GoShe7o]

Здравейте. Извинявам се, че постнах темата тук, но по аналитична геометрия ми беше зададена задачата, затова и реших да я пусна тук. Предварително ви благодаря за отделеното време и най-вече ако може да ми помогнете. Теорията е следната: Дадено ни е една елипса, която има вътрешни точки Ф2 и Ф1 ( фокус1 и фокус2). Ако пропуснем лъч в елипсата той, никога няма да излезе от нея и ще се отрази безбрай пъти във всичките й точки. Ще се отрази от Ф1 към стените на елипса и задължително ще се отрази през Ф2. Докажете, защо е вярна теорията ?

[Реклама]

[nikko1]

Нака за удобство единият фокус на елипсата [tex]F_1[/tex] е началото на координатната система и [tex]u_1[/tex] и [tex]u_2[/tex] да са единични вектори с направления, съответно съвпадащи с [tex]X[/tex] и [tex]X-F_2[/tex], където [tex]X[/tex] е произволна точка от елипсата.
Ако [tex]d_1=|X|[/tex] и [tex]d_2=|X-F_2|[/tex] са съответно фокалните разстояния между точката [tex]X[/tex] и фокусите [tex]F_1[/tex] и [tex]F_2[/tex], то [tex]X=d_1u_1[/tex] и [tex]X=d_2u_2+F_2.[/tex] Сега да мислим за [tex]X, u_1, u_2, d_1[/tex] и [tex]d_2[/tex] като за функции, дефинирани за някакви интервали от реални числа. Производните им са свързани с равенствата

[tex]\ \ \ \ (*)\ \ \ \ X'=d_1u_1'+d_1'u_1[/tex] и [tex]X'=d_2u_2'+d_2'u_2[/tex]

Понеже [tex]u_1[/tex] и [tex]u_2[/tex] имат постоянна дължина, то всеки от тях е перпендикулярен на производния си, така че (*) ни дава [tex]X'u_1=d_1'[/tex] и [tex]X'u_2=d_2'[/tex]. Прибавяме тези равенства и намираме

[tex]\ \ \ \ (**)\ \ \ \ X'(u_1+u_2)=d_1'+d_2'.[/tex]

От един от начините за задаване на елипса знаем, че [tex]d_1+d_2[/tex] е постоянно, така че [tex]d_1'+d_2'=0.[/tex] Тогава (**) ни дава [tex]X'(u_1+u_2)=0.[/tex] Нека [tex]T=\frac{X'}{|X'|}[/tex] да е единичен вектор с направление като на [tex]X'[/tex]. За [tex]T[/tex] от (**) имаме

[tex]\ \ \ \ (***)\ \ \ Tu_2=-Tu_1.[/tex]

Ако [tex]\theta_1[/tex] и [tex]\theta_2[/tex] съответо са ъглите, които [tex]T[/tex] сключва с [tex]u_1[/tex] и [tex]u_2[/tex], за [tex]0\leq\theta_1\leq\pi[/tex] и [tex]0\leq\theta_1\leq\pi[/tex], то (***) ни дава [tex]\cos\ \theta_2=-\cos\ \theta_1[/tex] (да си спомним, че при скаларно произведение имаме [tex]a.b=|a||b|\cos \angle(a,b)[/tex], а векторите са единични).
Тогава [tex]\theta_2=\pi-\theta_1.[/tex] Тази връзка между двата ъгъла [tex]\theta_1[/tex] и [tex]\theta_2[/tex] показва, че вътрешните ъгли са равни, а понеже ъгъла на падане е равен на ъгъла на отражение, то лъч през единия фокус след отразяване минава задължително през другия.

Пфю, доста трудна задачка, да не казвам теорема