Регистрирайте се
Предишната тема :: Следващата тема |
Автор |
Съобщение |
Пафнутий VIP
Регистриран на: 04 Mar 2008 Мнения: 1199
гласове: 54
|
Пуснато на: Tue Nov 18, 2008 7:07 pm Заглавие: JBMO Shortlist 2006 |
|
|
Да се докаже, че не съществува естествено число [tex]n\ge 10[/tex], за което всички числа, образувани при пермутация на цифрите на числото [tex]n[/tex], са точни квадрати. |
|
Върнете се в началото |
|
|
Реклама
|
Пуснато на: Заглавие: Реклама |
|
|
|
|
Върнете се в началото |
|
|
Пафнутий VIP
Регистриран на: 04 Mar 2008 Мнения: 1199
гласове: 54
|
Пуснато на: Mon Nov 24, 2008 4:40 pm Заглавие: |
|
|
Никой ли не иска да я пробва? |
|
Върнете се в началото |
|
|
Titu_Andrescu Напреднал
Регистриран на: 28 Oct 2006 Мнения: 370
гласове: 29
|
|
Върнете се в началото |
|
|
zhivko_sh Начинаещ
Регистриран на: 22 Feb 2008 Мнения: 37
гласове: 12
|
Пуснато на: Thu Jan 01, 2009 1:09 am Заглавие: |
|
|
Първо, лесно се доказва, че числата от вида [tex]\overline{aa...a} [/tex] не изпълняват условието. Значи ако има число n, удовлетворяващо условието, то трябва да има поне 2 различни цифри. Нека а и b са тези цифри. Тогава двете числа [tex] 100A+ \overline{ab} [/tex] и [tex] 100A+ \overline{ba} [/tex] са точни квадрати (съответно [tex]x^2 [/tex] и [tex] y^2[/tex]) където A е число, образувано от останалите цифри на n в произволен ред. Без ограничение на общността a>b. Тогава x>y. Но [tex] 100A+ \overline{ab} [/tex] - ([tex] 100A+ \overline{ba} [/tex]) = 9(а-b)≤81. Затова [tex]x^2 -y^2\le 81[/tex]. Но x≥y+1 и значи [tex]x^2 -y^2 \ge 2y+1[/tex]. Оттук y≤40, т.е. n≤1600. Остава да докажем твърдението за двуцифрени, трицифрени и четирицифрени числа, не по-големи от 1600, което е далеч по-лесна задача (ако човек съвсем не знае това как да го докаже и има време може да си замести y с числата от 1 до 40 и да си го провери) |
|
Върнете се в началото |
|
|
|
|
Не Можете да пускате нови теми Не Можете да отговаряте на темите Не Можете да променяте съобщенията си Не Можете да изтривате съобщенията си Не Можете да гласувате в анкети Може да прикачвате файлове Може да сваляте файлове от този форум
|
|