Регистрирайте сеРегистрирайте се

JBMO Shortlist 2006


 
   Форум за математика Форуми -> Олимпиади и състезания за 9-12 клас
Предишната тема :: Следващата тема  
Автор Съобщение
Пафнутий
VIP


Регистриран на: 04 Mar 2008
Мнения: 1199

Репутация: 137.7
гласове: 54

МнениеПуснато на: Tue Nov 18, 2008 7:07 pm    Заглавие: JBMO Shortlist 2006

Да се докаже, че не съществува естествено число [tex]n\ge 10[/tex], за което всички числа, образувани при пермутация на цифрите на числото [tex]n[/tex], са точни квадрати.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Реклама







Пуснато на:     Заглавие: Реклама

Върнете се в началото
Пафнутий
VIP


Регистриран на: 04 Mar 2008
Мнения: 1199

Репутация: 137.7
гласове: 54

МнениеПуснато на: Mon Nov 24, 2008 4:40 pm    Заглавие:

Никой ли не иска да я пробва? Shocked
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Titu_Andrescu
Напреднал


Регистриран на: 28 Oct 2006
Мнения: 370

Репутация: 68.9
гласове: 29

МнениеПуснато на: Mon Nov 24, 2008 7:05 pm    Заглавие:

http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?search_id=705944500&t=238629
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
zhivko_sh
Начинаещ


Регистриран на: 22 Feb 2008
Мнения: 37

Репутация: 20.5Репутация: 20.5
гласове: 12

МнениеПуснато на: Thu Jan 01, 2009 1:09 am    Заглавие:

Първо, лесно се доказва, че числата от вида [tex]\overline{aa...a} [/tex] не изпълняват условието. Значи ако има число n, удовлетворяващо условието, то трябва да има поне 2 различни цифри. Нека а и b са тези цифри. Тогава двете числа [tex] 100A+ \overline{ab} [/tex] и [tex] 100A+ \overline{ba} [/tex] са точни квадрати (съответно [tex]x^2 [/tex] и [tex] y^2[/tex]) където A е число, образувано от останалите цифри на n в произволен ред. Без ограничение на общността a>b. Тогава x>y. Но [tex] 100A+ \overline{ab} [/tex] - ([tex] 100A+ \overline{ba} [/tex]) = 9(а-b)≤81. Затова [tex]x^2 -y^2\le 81[/tex]. Но x≥y+1 и значи [tex]x^2 -y^2 \ge 2y+1[/tex]. Оттук y≤40, т.е. n≤1600. Остава да докажем твърдението за двуцифрени, трицифрени и четирицифрени числа, не по-големи от 1600, което е далеч по-лесна задача (ако човек съвсем не знае това как да го докаже и има време може да си замести y с числата от 1 до 40 и да си го провери) Very Happy
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Покажи мнения от преди:   
   Форум за математика Форуми -> Олимпиади и състезания за 9-12 клас Часовете са според зоната GMT + 2 Часа
Страница 1 от 1

 
Идете на:  
Не Можете да пускате нови теми
Не Можете да отговаряте на темите
Не Можете да променяте съобщенията си
Не Можете да изтривате съобщенията си
Не Можете да гласувате в анкети
Може да прикачвате файлове
Може да сваляте файлове от този форум
Copyright © 2005-2021 math10.com.