функционално уравнение

kenserante · Начинаещ Регистриран на: 15 Nov 2008 Мнения: 15

[tex]f(\frac{x}{x-1})+xf(\frac{1}{x})=2[/tex]
Намерете f(x).
Някой да я погледне че винаги получавам едно и също което попринцип не би трябвало да е вярно.

Реклама

Worstboy · Пуснато на: Sun Feb 22, 2009 10:27 pm Заглавие:

аз получавам че f(x)=2x^2 върху 2x-1

nikko1 · Пуснато на: Sun Feb 22, 2009 11:53 pm Заглавие:

I. [tex]x=\frac{1}{2}\Rightarrow f\left(\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}-1}\right)+\frac{1}{2}f(2)=f(-1)+\frac{1}{2}f(2)=2;[/tex]
II. [tex]x=2\Rightarrow f\left(\frac{2}{2-1}\right)+2f(\frac{1}{2})=f(2)+2f(\frac{1}{2})=2;[/tex]
III. [tex]x=-1\Rightarrow f\left(\frac{-1}{-1-1}\right)-f(\frac{1}{-1})=f(\frac{1}{2})-f(-1)=2.[/tex] Полагаме [tex]f(-1)=a,\,f(\frac{1}{2})=b,\,f(2)=c[/tex] и достигаме до системата
[tex]\begin{array}{|l}2a+\ \ \ \ \ \ c=4\\\ \ \ \ \ \ 2b+c=2\\-a+\ b\ \ \, \ \ =2\end{array}[/tex].Пресмятаме първо уравнение-второ+2*трето или
[tex]\not{2a}+\not{c}-\not{2b}-\not{c}-\not{2a}+\not{2b}=0=4-2+4=6[/tex] - няма решение.
Отговор - няма такава функция.

Worstboy · Пуснато на: Mon Feb 23, 2009 2:10 pm Заглавие:

според мен това е грешно, че няма такава функция,защото има

nikko1 · Пуснато на: Mon Feb 23, 2009 2:26 pm Заглавие:

Като има кажи коя е тя.

Worstboy · Пуснато на: Mon Feb 23, 2009 3:36 pm Заглавие:

това е според мен

nikko1 · Пуснато на: Mon Feb 23, 2009 5:15 pm Заглавие:

Проверка.
Замествам твоя "отговор" във функционалното уравнение.
[tex]\frac{2\left(\frac{x}{x-1}\right)^2}{2\frac{x}{x-1}-1}+x\frac{2x-1}{2x^2}=\frac{2x^2}{(x-1)(x+1)+\frac{2x-1}{2x}}=-\frac{6 x^3-x^2-2x+1}{2x-2x^3}\neq 2[/tex]
Няма да ти търся грешката, сам си я намери.

Worstboy · Пуснато на: Mon Feb 23, 2009 5:33 pm Заглавие:

аз до колкото знам така се решават, в такъв случай ти ми кажи къде бъркам, за да знам да не бъркам повече

nikko1 · Пуснато на: Mon Feb 23, 2009 6:15 pm Заглавие:

Замествеаме x с [tex]\frac{1}{1-x}[/tex] и имаме старото [tex]f(\frac{x}{x-1})[/tex] става [tex]f\left(\frac{\frac{1}{1-x}}{\frac{1}{1-x}-1}\right)=f\left(\frac{\frac{1}{1-x}}{\frac{x}{1-x}}\right)=f\left(\frac{1}{1-x}.{\frac{1-x}{x}}\right)=f(\frac{1}{x}).[/tex]
Как се делят дроби?!? (5 клас Laughing

).
A си писал [tex]f(x).[/tex]
Както винаги където се пише автоматично там се и греши.

Worstboy · Пуснато на: Mon Feb 23, 2009 7:54 pm Заглавие:

ами аз когато заменяам за втори път x с 1/1-x не го замествам в началното у-е ами в по-тодолното.Това грешно ли е

nikko1 · Пуснато на: Mon Feb 23, 2009 9:46 pm Заглавие:

Значи не заменяш x с дробта, а дробта с y, т.е. [tex]y=\frac{1}{1-x}[/tex], а тогава вместо x трябва да сложиш [tex]y-xy=1\Rightarrow x=\frac{y-1}{y}=1-\frac{1}{y}.[/tex]
Следователно субституцията е [tex]\frac{1}{1-x}=y,\,x=\frac{y-1}{y}=1[/tex] и уравнението става [tex]f(y)+f\left(\frac{y-1}{y}\right)\frac{y}{y-1}=2.[/tex]

Доста по-различно става, не мислиш ли?