Регистрирайте сеРегистрирайте се

Задача 15


 
   Форум за математика Форуми -> Задача на седмицата
Предишната тема :: Следващата тема  
Автор Съобщение
Pinetop Smith
Фен на форума


Регистриран на: 12 May 2007
Мнения: 961
Местожителство: Хасково
Репутация: 153.6Репутация: 153.6
гласове: 87

МнениеПуснато на: Tue Nov 18, 2008 4:57 pm    Заглавие: Задача 15

Нека петите на перпендикулярите от центъра на описаната окръжност в триъгълник ABC са P, Q и R. Описаните окръжности около триъгълниците APQ, BPR и CQR пресичат описаната около ABC в точки X, Y, Z. Да се докаже, че правите XR, YQ и ZP се пресичат в една точка.

17-ъгълник
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Реклама







Пуснато на:     Заглавие: Реклама

Върнете се в началото
ins-
Фен на форума


Регистриран на: 03 Oct 2007
Мнения: 567
Местожителство: Роман, София
Репутация: 56.6
гласове: 28

МнениеПуснато на: Tue Nov 18, 2008 6:18 pm    Заглавие:

P, Q, R на кои страни принадлежат?
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
r2d2
VIP


Регистриран на: 28 Feb 2007
Мнения: 1936
Местожителство: in the galaxy (Far Far Away)
Репутация: 311.2Репутация: 311.2
гласове: 179

МнениеПуснато на: Wed Nov 19, 2008 1:30 pm    Заглавие:

Ако (стандартно) Р е на АВ, Q - BC, R - AC, зад. е тривиална (трите медиани се прес. в една точка), а ако не са разположени така, май не е вярна!
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
17-ъгълник
Начинаещ


Регистриран на: 12 Nov 2008
Мнения: 3
Местожителство: SHARPEYE
Репутация: 1.6

МнениеПуснато на: Sat Dec 20, 2008 12:04 am    Заглавие:

P e на AB, R e на BC и Q e на AC. Само не разбрах от де ги видя тия медиани Very Happy .
Задачата не е кой знай колко трудна ама има няколко важни момента Wink.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
_sssss
Фен на форума


Регистриран на: 07 Dec 2008
Мнения: 633

Репутация: 85.8Репутация: 85.8
гласове: 50

МнениеПуснато на: Mon Dec 22, 2008 4:54 pm    Заглавие: Re: Задача 15

Николай.Каракехайов написа:
Нека петите на перпендикулярите от центъра на описаната окръжност в триъгълник ABC са P, Q и R. Описаните окръжности около триъгълниците APQ, BPR и CQR пресичат описаната около ABC в точки X, Y, Z. Да се докаже, че правите XR, YQ и ZP се пресичат в една точка.

17-ъгълник

Не би ли трябвало да е центъра на "вписаната"? В противен случай, онези 3 окръжности само се допират до описаната около ABC в точки A, B и C. Confused
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
17-ъгълник
Начинаещ


Регистриран на: 12 Nov 2008
Мнения: 3
Местожителство: SHARPEYE
Репутация: 1.6

МнениеПуснато на: Sun Apr 26, 2009 3:00 pm    Заглавие:

Да за вписаната става въпрос
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
inimitably
Редовен


Регистриран на: 13 Nov 2008
Мнения: 102

Репутация: 37.9Репутация: 37.9Репутация: 37.9Репутация: 37.9
гласове: 25

МнениеПуснато на: Thu Jul 23, 2009 9:00 pm    Заглавие:

Положението ми се струва доста "удобно" за малко инверсия.

Нека [tex]IY\cap PR=Y',IZ\cap RQ=Z',IX\cap PQ=X'[/tex],както и [tex]IB\cap PR=B',IC\cap RQ=C',AI\cap PQ=A'[/tex].Първо ще докажем ,че [tex]Y',Q',Z'[/tex] са петите на височините , спуснати съответно от върховете на [tex]\triangle PQR[/tex].От вписани ъгли в описаната окръжност около [tex]\triangle BPR[/tex]

[tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\angle BRI=\angle IYB=90^\circ [/tex] от друга страна [tex]IB\bot PR[/tex] , т.е. [tex]\angle IB'Y'=90^\circ [/tex] [tex]\Leftrightarrow[/tex] [tex]\triangle IBY[/tex]~[tex]\triangle IB'Y'[/tex].Ясно е ,че [tex]IR^2=IB'.IB=r^2[/tex]
тогава от подобността на двата триъгълника следва , че [tex]IY'.IY=r^2[/tex].Съвсем аналогично доказваме , че [tex]IA'.IA=IX'.IX=r^2,IC'.IC=IZ'.IZ=r^2[/tex].Ако приложим инверсия с център [tex]I[/tex] и радиус [tex]r[/tex]

[tex]\Rightarrow[/tex] [tex]Y'\maps Y,B'\maps B,Z'\maps Z,C'\maps C,A'\maps A,X'\maps X[/tex].Понеже [tex]A,B,C,Y,Z,X[/tex] лежат на описаната окръжност около [tex]\triangle ABC[/tex]

[tex]\Rightarrow[/tex] [tex]A',B',C',Y',Z',X'[/tex] също са на една окръжност и тъй като [tex]A',B',C'[/tex] са среди съответно на [tex]PQ,PR,RQ[/tex] , то тогава тази окръжност е окръжност на Фойербах за [tex]\triangle PQR[/tex].С това доказахме , че [tex]QY'\bot PR,RX'\bot PQ,PZ'\bot QR[/tex].

Ако отново приложим инверсия с център [tex]I[/tex] и радиус [tex]r[/tex]

[tex]\Rightarrow[/tex] [tex]Q\maps Q,P\maps P,Y'\maps Y,Z'\maps Z[/tex].Отново поради факта , че [tex]PQY'Z'[/tex] е вписан , то тогава и [tex]PQYZ[/tex] трябва да е вписан.

По същия начин се доказва , че [tex]PRZX,RQYX[/tex] са вписани.Тогава описаните окръжности около [tex]PRZX,RQYX,PQYZ[/tex] са две по две взаимнопресичащи се с общи хорди [tex]RX,QY,PZ[/tex].Добре известен факт е , че [tex]RX,QY,PZ[/tex] винаги се пресичат в една точка.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Покажи мнения от преди:   
   Форум за математика Форуми -> Задача на седмицата Часовете са според зоната GMT + 2 Часа
Страница 1 от 1

 
Идете на:  
Не Можете да пускате нови теми
Не Можете да отговаряте на темите
Не Можете да променяте съобщенията си
Не Можете да изтривате съобщенията си
Не Можете да гласувате в анкети
You cannot attach files in this forum
Може да сваляте файлове от този форум
Copyright © 2005-2020 math10.com.