Задача 15

[Pinetop Smith]

Нека петите на перпендикулярите от центъра на описаната окръжност в триъгълник ABC са P, Q и R. Описаните окръжности около триъгълниците APQ, BPR и CQR пресичат описаната около ABC в точки X, Y, Z. Да се докаже, че правите XR, YQ и ZP се пресичат в една точка.

17-ъгълник

[Реклама]

[ins-]

P, Q, R на кои страни принадлежат?

[r2d2]

Ако (стандартно) Р е на АВ, Q - BC, R - AC, зад. е тривиална (трите медиани се прес. в една точка), а ако не са разположени така, май не е вярна!

[17-ъгълник]

P e на AB, R e на BC и Q e на AC. Само не разбрах от де ги видя тия медиани .
Задачата не е кой знай колко трудна ама има няколко важни момента .

[_sssss]

[17-ъгълник]

Да за вписаната става въпрос

[inimitably]

Положението ми се струва доста "удобно" за малко инверсия.

Нека [tex]IY\cap PR=Y',IZ\cap RQ=Z',IX\cap PQ=X'[/tex],както и [tex]IB\cap PR=B',IC\cap RQ=C',AI\cap PQ=A'[/tex].Първо ще докажем ,че [tex]Y',Q',Z'[/tex] са петите на височините , спуснати съответно от върховете на [tex]\triangle PQR[/tex].От вписани ъгли в описаната окръжност около [tex]\triangle BPR[/tex]

[tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\angle BRI=\angle IYB=90^\circ [/tex] от друга страна [tex]IB\bot PR[/tex] , т.е. [tex]\angle IB'Y'=90^\circ [/tex] [tex]\Leftrightarrow[/tex] [tex]\triangle IBY[/tex]~[tex]\triangle IB'Y'[/tex].Ясно е ,че [tex]IR^2=IB'.IB=r^2[/tex]
тогава от подобността на двата триъгълника следва , че [tex]IY'.IY=r^2[/tex].Съвсем аналогично доказваме , че [tex]IA'.IA=IX'.IX=r^2,IC'.IC=IZ'.IZ=r^2[/tex].Ако приложим инверсия с център [tex]I[/tex] и радиус [tex]r[/tex]

[tex]\Rightarrow[/tex] [tex]Y'\maps Y,B'\maps B,Z'\maps Z,C'\maps C,A'\maps A,X'\maps X[/tex].Понеже [tex]A,B,C,Y,Z,X[/tex] лежат на описаната окръжност около [tex]\triangle ABC[/tex]

[tex]\Rightarrow[/tex] [tex]A',B',C',Y',Z',X'[/tex] също са на една окръжност и тъй като [tex]A',B',C'[/tex] са среди съответно на [tex]PQ,PR,RQ[/tex] , то тогава тази окръжност е окръжност на Фойербах за [tex]\triangle PQR[/tex].С това доказахме , че [tex]QY'\bot PR,RX'\bot PQ,PZ'\bot QR[/tex].

Ако отново приложим инверсия с център [tex]I[/tex] и радиус [tex]r[/tex]

[tex]\Rightarrow[/tex] [tex]Q\maps Q,P\maps P,Y'\maps Y,Z'\maps Z[/tex].Отново поради факта , че [tex]PQY'Z'[/tex] е вписан , то тогава и [tex]PQYZ[/tex] трябва да е вписан.

По същия начин се доказва , че [tex]PRZX,RQYX[/tex] са вписани.Тогава описаните окръжности около [tex]PRZX,RQYX,PQYZ[/tex] са две по две взаимнопресичащи се с общи хорди [tex]RX,QY,PZ[/tex].Добре известен факт е , че [tex]RX,QY,PZ[/tex] винаги се пресичат в една точка.