Да се намери у-ето на права ?

[RyDeR]

Намерете уравнението на права g през точка M(1,1,1), която се намира на разстояние 1 от О(0,0,0).

И още една:
Намерете уравнението на оста на правите:

l: (x-6)/3 = (y-3)/(-2) = (z+3)/4 и p: (x+1)/3 = (y+7)/(-3) = (z-4)/8

и намерете разстоянието м/у l и p.

Дано някой да може да ми помогне, че в чудо се видях.

Втората я реших, ама първата нещо се опъва

[Реклама]

[nikko1]

задача: Намерете уравнението на права g през точка M(1,1,1), която се намира на разстояние 1 от О(0,0,0).

Решение: За да бъде правата g на разстояние 1 от т. О и да минава през точка M(1,1,1), то правата лежи в равнина, която е на разстояние 1 от т. О. Има три такива равнини, които се явяват три от страните на куб с дължина на ръба 1. Тези равнини имат уравнения съответно
[tex]\alpha:\ x=1,\ \ \beta:\ y=1,\ \ \gamma:\ z=1.[/tex]
Обаче освен това правите от т. О, перпендикулярни на всяка от тези равнини са всъщност координатните оси. Тогава пресечните точки на тези прави с равнините са съответно точките A(1,0,0), B(0,1,0) и C(0,0,1) (виж чертежа).
Тогава всяка от трите прави, които са решения на задачата се намира лесно:
[tex]l_1[/tex] минава през точките A и M, и уравнението намираме като права в пространството през т. M(1,1,1), успоредна на [tex]\vec{AM}=(0,1,1)[/tex] или получаваме скаларно параметричното уравнение на правата [tex]l1\ : \left\{\begin{array}{l} {x=\ \ \ \ 1}\\ {y=\lambda+1}\\ {z=\lambda+1}\end{array}\right., \ \ \lambda\in\mathbb{R}[/tex] за [tex]\lambda[/tex] параметър.
Аналогично
[tex]l2\ : \left\{\begin{array}{l} {x=\mu+1}\\ {y=\ \ \ \ \ 1}\\ {z=\mu+1}\end{array}\right. \ \ \mu\in\mathbb{R}[/tex] за [tex]\mu[/tex] параметър.
[tex]l3\ : \left\{\begin{array}{l} {x=\nu+1}\\ {y=\nu+1}\\ {z=\ \ \ \ \ 1}\end{array}\right. \ \ \nu\in\mathbb{R}[/tex] за [tex]\nu[/tex] параметър.

[gdimkov]

Точките в пространството, които са на разстояние 1 от началото О(0, 0, 0), са точките от единичната сфера с уравнение [tex]x^2+y^2+z^2=1[/tex]. Следователно решението на задачата представляват образуващите на конус с връх в точката М(1, 1, 1) и допирателни към единичната сфера. С други думи поставената задача има безбройно много решения. [tex]N(a,\,b,\,\sqrt{1-a^2-b^2} )[/tex] е точка от единичната сфера. Ще искаме [tex]\vec {MN}(a-1,\,b-1,\,\sqrt{1-a^2-b^2} -1)[/tex] да е колинеарен с търсената права. В такъв случай е необходимо [tex]\vec {MN}(a-1,\,b-1,\,\sqrt{1-a^2-b^2} -1)\,\bot \,\vec {ON}(a,\,b,\,\sqrt{1-a^2-b^2} )[/tex], т.е. [tex]\vec {MN}.\vec {ON}=0[/tex]. Оттук получаваме една връзка за параметрите a и b, но единият от тях остава произволен. Така N са безбройно много точки, които, свързани с М, дават решение на задачата. Между тях разбира се са точките (1, 0, 0), (0, 1, 0) и (0, 0, 1).

[nikko1]

Мда прав си. Ето малко сметки по темата. Ще се опитам да намеря окръжността върху сферата, която дава точка от всяка от търсените прави.
Ясно е, че тази окръжност минава през точките A(1,0,0), B(0,1,0) и C(0,0,1). Тогава центъра и е медицентъра на триъгълник ABC, т.е. т. [tex]H(\frac{1}{3},\ \frac{1}{3},\ \frac{1}{3})[/tex]. Освен това тази окръжност е в равнината определена от т. A, B и C. Тогава окръжността е в равнината [tex]\alpha[/tex], която минава през т. [tex]H(\frac{1}{3},\ \frac{1}{3},\ \frac{1}{3})[/tex] и е успоредна на векторите [tex]\vec{AB} (-1,1,0)[/tex] и [tex]\vec{AC}(-1,0,1)[/tex]. Записваме равнината параметрично
[tex]\alpha:\ \left\{\begin{array}{l}x=-\lambda-\mu+\frac{1}{3}\\y=\ \lambda\ \ \ \ \ \ +\frac{1}{3}\\z=\ \ \ \ \ \ \ \ \mu+\frac{1}{3}\\\end{array}\right.[/tex]
Сега всяка точка N от окръжността имаме

[tex]\ \ \ \ (*)\ \ \ \ |\vec{MH}|=|\vec{HA}|=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}},[/tex]

[tex]\vec{MH}=(\lambda+\mu,-\lambda, -\mu)[/tex] заместваме дължината му в (*) и получаваме [tex](\lambda+\mu)^2+\lambda^2+\mu^2=\frac{2}{3}\Leftrightarrow[/tex][tex]\lambda^2+\mu^2+\lambda\mu=\frac{1}{3}[/tex] - това е уравнението на окръжността.
Наистина точките A, B, C се получават съответно при [tex]\lambda=-\frac{1}{3},\ \mu=-\frac{1}{3}[/tex]; [tex]\lambda=\frac{2}{3},\ \mu=-\frac{1}{3}[/tex] и [tex]\lambda=-\frac{1}{3},\ \mu=\frac{2}{3}[/tex].
Ако някой има идея как да решим уравнението в червено да пише.

[gdimkov]

Струва си да се поразсъждава по тази задача. Като става дума за окръжности. Пресичаме единичната сфера с произволна равнина през М(1, 1, 1) и О(0, 0, 0). Получава се окръжност. Допирателните от М към тази окръжност са две от търсените прави. Оттук вече е ясно, че задачата има безбройно много решения.
Тук съм пресметнал един пример. Проверил съм го два пъти.
[tex]M(1,\,1,\,1),\,N(a,\,b,\,c)[/tex]

[tex]a^2+b^2+c^2=1,\,\rightarrow c=\sqrt {1-a^2-b^2} [/tex]

[tex]\vec {ON} (a,\,b,\, \sqrt {1-a^2-b^2} ),\,\vec {MN} (a-1,\,b-1,\, \sqrt {1-a^2-b^2} -1)[/tex]

[tex]\vec {ON}.\vec {MN} =a(a-1)+b(b-1)+ \sqrt {1-a^2-b^2}(\sqrt {1-a^2-b^2} -1)=0[/tex]

[tex]a^2+b^2-a-b+ab=0[/tex]

[tex]a=\frac {1}{2},\,\rightarrow 4b^2-2b-1=0,\,b_{1,2}=\frac {1\pm \sqrt {5}}{4}[/tex]

[tex]c=\sqrt {\frac {3-\sqrt {5}}{8}},\,\rightarrow N(\frac {1}{2},\,\frac {1+ \sqrt {5}}{4},\,\sqrt {\frac {3-\sqrt {5}}{8}})[/tex] ще ни даде една от двете възможни прави.
Мисля, че е излишно да давам словесни обяснения на написаното. Ще стане много дълго.
Всеки си има свой начин на разсъждения. За мен се оказва полезно, когато (в такива случаи) комбинирам алгебрични с геометрични съображения.