Разяснение относно задача от математическа индукция

[blz]

Поредната ми тема с риск да стана досаден..

3ⁿ > k³ че е изпълнено за всяко ест. число [tex]n\ge 4 [/tex]

За n=1 и n=k ми е ясно и стигам до n=k+1 :
3^k+1 = 3^k 3 > 3k³ =k³ +2k³ > k³ +2.4.k² = k³ +3k² +5k²

..И сега какво ?

[Реклама]

[ганка симеонова]

Опасявам се, че не разбрах условието

[blz]

Съжалявам, че съм го дал неясно.

Условието гласи :

Да се докаже : 3ⁿ > n³ ,[tex] n\ge 4[/tex]

[gsinekliev]

за n=4 имаме [tex]3^4>4^3 => 81>64 [/tex], което очевидно е вярно
за n=k допускаме, че е вярно [tex]3^k>k^3[/tex]Трябва да докажем че е вярно [tex]3^{k+1}>(k+1)^3[/tex]
[tex]3^k>k^3 => 3^{k+1}>3k^3=k^3 + 2k^3\ge k^3 + 4k^2 = k^3 + 3k^2 + k^2\ge k^3 + 3k^2 + 4k = k^3 + 3k^2 + 3k + k\ge k^3 + 3k^2 + 3k +4 > k^3 + 3k^2 + 3k +1=(k+1)^3[/tex]
Всички неравенства, за които имаш съмнение дали са верни следват от [tex]n\ge 4[/tex]
[tex]n\ge 4[/tex]
[tex]n^2 \ge 4n[/tex]
[tex]n^3 \ge 4n^2[/tex]
Не съм сигурен дали точно така трябва да се запише ама мисля, че се схваща идеята.

[blz]

Само искам да питам 2k³ не става ли 8k² ? Иначе мерси много !

[Пафнутий]

[blz]

Значи си го гласим да стане формула, каквато ни е нужна - в случая (к+1)³

Благодаря отново

[gsinekliev]