9 клас: Две окръжности - k1 и k2се пресичат в точки А и В.

[Pinetop Smith]

Две окръжности - k₁ и k₂се пресичат в точки А и В. През В е построена права, пресичаща k₁ в т. Х и k₂ в т. У. През Х е построена допирателна към k₁, а през У - към k₂. Двете допирателни се пресичат в т. С. Да се докаже, че:

а) <ХАС = <ВАУ
б) ако В е среда на ХУ, то <ХВА = <ХВС.

Стоян Боев

[Реклама]

[Saposto_MM]

а)[tex]\angle XAB=\angle BXC[/tex] (вписан и периферен ъгъл към една и съща дъга) и [tex]\angle YAB=\angle BYC[/tex] (вписан и периферен ъгъл към една и съща дъга), следователно [tex]\angle XAY+\angle XCY=180[/tex], следователно XAYC е вписан. Оттук [tex]\angle XAC = \angle XYC =\angle BAY[/tex]
б)От а) XAYC е вписан. Нека втората пресечна точка на AB и окръжността описана около XAYC е D. [tex]\angle XAD= \angle YXC[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] XD=YC [tex]\Rightarrow[/tex] XDCY е равнобедрен трапец. Понеже B е среда на XY, то [tex]\angle XCM=\angle YDA[/tex](M е втората пресечна точка на окръжността около XAYC и BC), откъдето AY=XM, следователно XMAY е равнобедрен трапец. Оттук и от [tex]\angle XCA=\angle XYA[/tex], следва, че [tex]\angle MXY=\angle XCA[/tex]. От последното и от [tex]\angle MXA=\angle MCA[/tex] (вписани ъгли към една и съща дъга), следва, че [tex]\angle AXB=\angle XCB[/tex] и понеже [tex]\angle XAB=\angle BXC[/tex], то [tex]\angle XBA=\angle XBC[/tex].