Комплексен анализ: (2 - 2i)/(-sqrt{3} + i)

[blz]

Здравейте. Нов съм, но и преди съм влизал в сайта да чета. Поздравявам ви за него, доста ми помага.
Имам проблем обаче с една задачка, която вероятно ще ви се стори лесна..

Пресметнете : [tex] \frac{2 - 2i}{-\sqrt{3} + i}[/tex] цялото на степен 108

В скобите умножавам по [tex] \frac{i + \sqrt{3} }{i + \sqrt{3} } [/tex] но не ми излиза.. Ще ви бъда благодарен ако ми помогнете.

[Реклама]

[dgs]

[blz]

Целия израз е в скоби и е повдигнат на степен 108. След като умножавам по комплексно спрегнатото на израза в знаменателя достигам до :

[tex]\frac{\sqrt{3}(i-1) - (i+1)}{2}[/tex]

[dgs]

Ако искаш умножавай в началото, ако искаш недей. По-надолу е без умножение. Сега като го гледам за втори път, като че ли ще е по-добре да се умножи.


[tex] \left(\frac{2 - 2i}{-\sqrt{3} + i}\right)^{108}= \frac{2^{108}.(1 - i)^{108}}{(-\sqrt{3}+i)^{108}} =[/tex]

[tex]=\frac{2^{108}.((1 - i)^{2})^{54}}{((-\sqrt{3}+i)^{2})^{54}}=\frac{2^{108}.(1 - 2.i - 1)^{54}}{(3-2.i.\sqrt{3}-1)^{54}}=[/tex]

[tex]=\frac{2^{108}.(-2)^{54}.i^{54}}{2^{54}.(1-i.\sqrt{3})^{54}}=\frac{2^{108}.(-1)^{37}}{((1-i.\sqrt{3})^{2})^{37}}=[/tex]

[tex]=\frac{2^{108}.(-1)}{(1-2.i.\sqrt{3}-3)^{37}}=\frac{2^{108}.(-1)}{(-2)^{37}.(1+i.\sqrt{3})^{37}}=[/tex]

[tex]=\frac{2^{108-37}}{(1+i.\sqrt{3}).((1+i.\sqrt{3})^{2})^{18}}=\frac{2^{108-37}}{(1+i.\sqrt{3}).(-2)^{18}.(1-i.\sqrt{3})^{18}}=[/tex]

[tex]=\frac{2^{108-37-18}}{(1+i.\sqrt{3}).((1-i.\sqrt{3})^{2})^{9}}=\frac{2^{108-37-18}}{(1+i.\sqrt{3}).(-2)^{9}.(1+i.\sqrt{3})^{9}}=[/tex]

[tex]=\frac{2^{108-37-18-9}}{(-1).((1+i.\sqrt{3})^{2})^{5}}=\frac{2^{108-37-18-9}}{(-1).(-2)^{5}.(1-i.\sqrt{3})^{5}}=[/tex]

[tex]=\frac{2^{108-37-18-9-5}}{(1-i.\sqrt{3}).((1-i.\sqrt{3})^{2})^{2}}=\frac{2^{108-37-18-9-5}}{(1-i.\sqrt{3}).(-2)^{2}.(1+i.\sqrt{3})^{2}}=[/tex]

[tex]=\frac{2^{108-37-18-9-5-2}}{(1-i.\sqrt{3}).(-2).(1-i.\sqrt{3})}=\frac{2^{108-37-18-9-5-2-1}}{(-1).(1-i.\sqrt{3})^{2}}=[/tex]

[tex]=\frac{2^{108-37-18-9-5-2-1}}{(-1).(-2).(1+i.\sqrt{3})}=\frac{2^{108-37-18-9-5-2-1-1}}{(1+i.\sqrt{3})}=[/tex]

Не го преписвай дословно без да го провериш, защото може и да съм объркал някъде

[blz]

Много благодаря за подробното решение и се извинявай за загубеното ти време в писане на този дълъг пост..

След това има ли нужда да извършвам още действия, защото видях, че ако вече умножа по комплексно спрегнатото в знаменател получавам 4. Иначе май е на степен 27 в началото, а не 37, но е един и същ начина и няма значение. Още един път благодаря много !

[dgs]

[gdimkov]

[tex](1-i)=\sqrt{2} \left (cos(-\frac {\pi }{4})+i\sin(-\frac {\pi }{4})\right )[/tex]
Двойката от числителя ще стане знаменател на знаменателя.
[tex]\frac {1}{2}(-\sqrt{3} +i)=cos(\frac {5\pi }{6})+i\sin\left (\frac {5\pi }{6}\right )[/tex]

[tex]z=\frac {2-2i}{-\sqrt{3} +i}=\sqrt{2} .\frac {cos(-\frac {\pi }{4})+i\sin(-\frac {\pi }{4})}{cos(\frac {5\pi }{6})+i\sin\left (\frac {5\pi }{6}\right )}=\sqrt{2} \left (cos(-\frac {\pi }{4}-\frac {5\pi }{6})+i\sin\left (-\frac {\pi }{4}-\frac {5\pi }{6}\right )\right )=\sqrt{2} \left (cos(-\frac {13\pi }{12})+i\sin\left (-\frac {13\pi }{12}\right )\right )[/tex]

[tex]z^{108}=(\sqrt{2} )^{108}\left (cos(-108.\frac {13\pi }{12})+i\sin\left (-108.\frac {13\pi }{12}\right )\right )=2^{54}\left (cos(-117\pi )+i\sin (-117\pi )\right )=2^{54}\left (cos(-\pi )+i\sin(-\pi )\right )=-2^{54}[/tex]

Дано в тези многобройни сметки да нямам аритметична грешка.

[MorningEnergy]

С риск да стана много смешен (с комплексен анализ се занимавам тепърва) ще задам един въпрос към горния юзер:
Как сметна ъглите [tex]-\pi /4[/tex] и [tex]5\pi /6 [/tex] ?

[gdimkov]

[MorningEnergy]