и още едно n-то

[ганка симеонова]

[tex]\sqrt{\frac{2x-1}{ x^2-x+1} }+\sqrt{\frac{x^2-x+1}{2x-1 } } =\sqrt{4x-x^2} [/tex]

[Реклама]

[martosss]

Прилагаме средно СА≥СГ за лявата страна, която се състои от неотрицателни събираеми, и получаваме[tex]\sqrt{\frac{2x-1}{ x^2-x+1} }+\sqrt{\frac{x^2-x+1}{2x-1 } }\ge 2[/tex]
Сега за да имаме равенство трябва за дясната страна да е изпълнено [tex]\sqrt{4x-x^2}\ge 2[/tex], Което след повдигане на квадрат и привеждане в общ вид добива вида
[tex](x-2)^2\le 0[/tex], откъдето x=2 е единственото решение, което след проверка попада в Д.С. с което задачата е решена.

[dim]

[tex]\sqrt{\frac{2x-1}{ x^2-x+1} }+\sqrt{\frac{x^2-x+1}{2x-1 } }\ge 2[/tex]

[tex]0\le \sqrt{4x-x^2}\le 2 [/tex]

За да е изпълнено уравнението двете страни поотделно са равни на 2 и оттам намираме x=2

[ганка симеонова]

Точно така Дим
Аз така и не успях да убедя Мартос, че дясната страна е по- малка или равна от 2

[martosss]

а аз така и не успях да ви убедя, че ако имаме

k≥0, то за да е изпълнено равенството

2+k=x,

трябва да имаме

x≥2



имаме

1) a+b≥2
2) a+b=c

[tex]\begin{tabular}{|1}1)-2)\ge 0\\1)\end{tabular}[/tex] =>

[tex]\begin{tabular}{|1}a+b-a-b\ge 2-c\\a+b=c\end{tabular}[/tex]

[tex]\begin{tabular}{|1}c\ge 2\\a+b=c\end{tabular}[/tex]

Сега от c≥2 получаваме x=2, но понеже имаме система, то за да е изпълнено 1) трябва x=2, откъдето х=2 е единственото, защото решението на c≥2 е САМО х=2.

Силно се надявам да сте ме разбрали

[ганка симеонова]

Март, подкоренната величина в дясно е квадратна функция с отрицателен старши коефициент. Тогава тя достига НГС във върха. Я сметни, какво става?

[dim]

[martosss]

Ей хора, много ви се моля, не ме карайте да пиша всичко с големи корени, защото само ще си изгубя времето, ще го обясня със системка, където вместо радикали съм записал буквичките а, б и с:

Имаме

а+б=с
а+б≥2

Сега от второто вадим първото и за да запазим системата преписваме едно от двете, нека бъде равенството, получаваме следната система:

а+б-а-б≥2-с
а+б=с

с≥2
а+б=с

Сега от с≥2 като заместим "с" със [tex]\sqrt{4x-x^2}[/tex] и повдигнем неравенството на квадрат последователно получаваме

[tex]4x-x^2\ge 4\Right x^2-4x+4\le 0\Right (x-2)^2\le 0\Right x=2[/tex] - получихме ЕДИНСТВЕНО РЕШЕНИЕ х=2.

Тъй като това е система от 2 уравнения, то за да има тя решения трябва да направим сечение на интервалите, които сме получили че са решение на отделните уравнения, но в случая неравенството има единствено решение х=2, тоест това е единственото възможно решение на цялата системата. Сега като заместим х=2 виждаме, че то е решение и на уравнението a+b=c, откъдето х=2 е единствено решение

[ганка симеонова]

Мартине, пак повтарям, че дясната страна не е >=2, а <=2
Осен това, ако и двете страни на едно уравнение са по- големи или равни от 2, за едно и също х, това не значи че уравнението ще има единствено решение!

[martosss]

[ганка симеонова]

Когато решаваш уравнение, трябва да посочиш всички решения!

[dim]

Мисля, 4е в слу4ая просто Мастос се абсрахира от дясната страна какво става и така или ина4е ако някакво x е корен вси4ки тия неравенства, които писахме са в сила за него (но не и по принцип). Мисля, 4е това е имал впредвид.

[martosss]