Решете уравнението 2x^3-6x+5=0

[estoyanovvd]

Решете уравнението [tex]2x^{3}-6x+5=0[/tex].

[Реклама]

[ганка симеонова]

[tex] x^{3}-3x=a^{3}+\frac{1}{a^{3} } [/tex]
[tex] a^{3}+\frac{1}{a^{3} }=(a+\frac{1}{a })^{3}-3(a+\frac{1}{a })[/tex]
[tex] x^{3}-(a+\frac{1}{a })^{3}=3[x-(a+\frac{1}{a })][/tex]
прехвърляме дясната при лявата страна и получаваме, разлагаме на множители и получаваме:
[tex] [x-(a+\frac{1}{a })][x^{2}+(a+\frac{1}{a })x+(a^{2}+\frac{1}{a^{2} }-1)]=0 [/tex]
в даденото уравнение, след като разделим на 2, в дясно се получава числото -5/2, което може да се представи, като :
[tex] -2-\frac{1}{2 }=-(\sqrt[3]{2})^{3}-\frac{1}{(\sqrt[3]{2})^{3} } [/tex]

[r2d2]

Ще помоля estoqnov да покаже неговото решение, а Ганка да обясни как се е сетила за подобни преобразувания.

После да решат: [tex]x^3+6x-2=0[/tex] или [tex]x^3+15x-20=0[/tex].

Никакви ф-ли на готово!

[ганка симеонова]

Както казваше невероятният Дойчин Дойчинов- "Умен бях, сетих се"
Шегувам се. Това, което съм написала като решение, важи за уравнение от 3 степен с лява част
[tex]x^3-3x[/tex], а дясна- която може да се представи като сбор на един куб с неговото реципрочно.
Уравнението на Стоянов е точно от този тип.

[martosss]

Ми то и аз обичам да работя с Хорнер и намерих корен на първото [tex]\sqrt[3]{4}-\sqrt[3]2[/tex]
Шегувам се - Кардано

Особено за такива у-я, които имат корени от подобен тип, има ли смисъл да мислим по-ужасяващи методи за решение от Кардано(в този случай неговият метод е нещо като пищоФ на контролно )

[r2d2]

Martosss, получи си отрицателния вот и те моля, да си по-сериозен!

Но ако покажеш метод..!

[martosss]

[tex]x^3+6x-2=0[/tex]
[tex]x^3=-6x+2[/tex]
Сега представяме [tex]x=u+v[/tex] и уравнението ни добива вида:
[tex]u^3+v^3+3uv(u+v)=-6(u+v)+2[/tex]
[tex](u^3+v^3-2)+(u+v)(3uv+6)=0[/tex]
Търсим такива числа [tex]u[/tex] и [tex]v[/tex], че да е изпълнена системата:
[tex]\begin{tabular}{|1}3uv=-6\\u^3+v^3=2\end{tabular}[/tex]

Сега от първото у-е намираме [tex]u=-\frac{2}{v}[/tex], заместваме и получаваме у-ето

[tex]v^6-2v^3-8=0[/tex], което е биквадратно(това е от трета степен, значи даже триквадратно ) с дискриминанта 36, откъдето

[tex]v^3_{1,2}=\frac{2\pm 6}{2}\Right v_1^3=4, v_2^3=-2[/tex]

От тук[tex]\begin{tabular}{|1}v_1=\sqrt[3]4\\u_1=-\sqrt[3]2\end{tabular}\cup \begin{tabular}{|1}v_2=-\sqrt[3]2\\u_2=\sqrt[3]4\end{tabular}[/tex]

Сега за х и в двата случая получаваме [tex]x=\sqrt[3]4-\sqrt[3]2[/tex]

[NoThanks]

Това е много хубаво И аз бях тръгнал с метода на Худе, само че бях положил [tex]x=rcos\varphi[/tex], но нещата нещо не бяха добре. Евалата

[estoyanovvd]

Ето го и ''моето'' решение


Надявам се ще видите грешката в края, където вместо [tex]\frac{1}{y } [/tex] е написано [tex]y[/tex].