Решете уравнението t^3+4t^2-24t-98=0 за t в (-5;3)

[estoyanovvd]

Решете уравнението [tex]t^{3}+4t^{2}-24t-98=0[/tex] за [tex]t\in (-5;3)[/tex].

[Реклама]

[gdimkov]

Аз понеже съм си човек от анализа (макар и от комплексния), в заплетени случаи предпочитам аналитичните методи.
[tex]f(t)=t^3+4t^2-24t-98[/tex]
[tex]f'(t)=3t^2+8t-24[/tex]
[tex]f''(t)=6t+8,\,f''(-4/3)=0[/tex]
Уравнението [tex]3t^2+8t-24=0[/tex] има два корена [tex]t_1\approx -4,460277,\,t_2\approx 1,79361[/tex]. Тъй като първият е отляво на нулата на ІІ производна, а вторият - отдясно, първият корен е локален максимум, вторият - локален минимум. [tex]f(t_1)\approx -0,11014[/tex], откъдето следва, че функцията има само една реална нула и тя се намира надясно от [tex]t_2[/tex]. Нека отбележим още, че: [tex]f(t_2)<0[/tex], за [tex]t>t_2[/tex] функцията расте. Заради условието [tex]t\in (-5,\,3)[/tex] проверяваме [tex]f(3)=-107[/tex]. Това означава, че уравнението няма корен в посочения интервал. С малко "игра" се установява [tex]4,9218055<t_0<4,0218056[/tex].
P.S. Аз често правя грешки от бързане. Дано този път дане съм сбъркал никъде.

[ганка симеонова]

[estoyanovvd]

[estoyanovvd]

Исках интервала да е [tex](0;4)[/tex]! Незнам защо съм се объркал!!!

[ганка симеонова]

последно, в кой интервал?
във втория няма решение.

[gdimkov]

Не знам откъде господин Стоянов е взел това уравнение. Обаче аз давам експериментален редултат. Тогава всякакъв въпрос за интервал отпада.

[estoyanovvd]

Става въпрос за втория и там наистина няма решение, но ще ми е интересно да го докажете без производни.

[ганка симеонова]

Представяме уравнението във вида
[tex](t-4)^3+2(8t^2-36t-17) =0 [/tex]
Първото събираемо е отрицателно за всяко [tex]t<4 [/tex]
Квадратната функция е с връх, чиято първа координата е [tex]t_V=\frac{9}{4 } [/tex], а втората е отрицателна.
В [tex]t=0; t=4 [/tex] тя също приема отрицателни стойности. Тогава лявата част е отрицателна и уравнението няма корен в [tex](0; 4) [/tex]