Уравнение в естествени числа

[Pinetop Smith]

Да се докаже, че уравнението [tex]x + y^5 = z^4[/tex] има безброй много естествени решения.

[Реклама]

[Пафнутий]

При такива задачи много често се използва тъждеството [tex]2^n+2^n=2^{n+1}[/tex]. За това е удобно да положим [tex]x=y^5[/tex] и [tex]y=2^r[/tex] ще се опитаме да намерим вида на [tex]r[/tex](тъй като търсим безброй много решения). Тогава [tex]x+y^5=2^{5r+1}[/tex].Остава да намерим при какво [tex]r[/tex], [tex]5r+1[/tex] се дели на [tex]4[/tex]. След като разгледаме всички остатъци при деление с [tex]4[/tex], получаваме, че [tex]r=4k+3[/tex] за неотрицателно [tex]k[/tex].
Окончателно уравнението има безброй много решения за [tex]x=y^5[/tex] и [tex]y=2^{4k+3}[/tex] за неотрицателно [tex]k[/tex].