Трудно ирационално уравнение

[ганка симеонова]

[tex]\sqrt[3]{x+22}=x^3-6x^2+12x-32 [/tex]
Пускам я, защото ми попадна, стори ми се интересна, но за сега не мога да я реша.
Ако някой има идеи, да казва

[Реклама]

[NoThanks]

[tex]\sqrt[3]{x+22}=x^3-6x^2+12x-32 [/tex]
[tex]\sqrt[3]{x+22}= (x-2)^3 - 24[/tex]
[tex]x-2 = a[/tex]
[tex]\sqrt[3]{a+24} = a^3 - 24[/tex]
На което предполагам, можем да начертаем графиката и да покажем, че (евентуално) няма решение

[ганка симеонова]

[NoThanks]

Ами тогава всичко е перфектно. И отляво, и отдясно функциите са ни растящи, т.е у-ето може да има най-много 1 корен. С директна проверка установяваме, че той е 5(не звучи много сериозно, ама)

[ганка симеонова]

Никак даже
две растящи функции могат да имат и две решения

[ганка симеонова]

Дойде ми проблясък. Значи, задачата има следния модел
[tex] \sqrt[3]{a+b} =a^3-b[/tex], където [tex]a=x-2; b=24 [/tex]
Полагаме [tex] \sqrt[3]{a+b}=u=>a+b=u^3; a^3-b=v [/tex]
Събираме и получаваме [tex]a^3+a=u^3+v [/tex], но [tex]u=v=> [/tex]
[tex]a^3+a=u^3+u=>u^3-a^3+u-a=0=>(u-a)(u^2+au+a^2+1)=0 [/tex]
Kвадратния тичлен има отрицателна дискриминанта=> остава [tex] u=a[/tex]
[tex]=>a+b=a^3 =>(x-2)+24=(x-2)^3 => x=5 [/tex]

[estoyanovvd]

[quote="ганка симеонова"]

[estoyanovvd]

[estoyanovvd]

Все пак си мисля, че решението на Нотенкс и моето продължение е по-естествено, нали?

[estoyanovvd]

Но това на Ганка е мноооого по-поучително! То си е цяла теория!!!

[ганка симеонова]

Е, колега, не всички могат да са умни.
Доказано е, че мъжете са по- умни от жените
Но, жените са по- красиви

[Baronov]

Съжалявам (или май трябва да напиша съжелявам, все пак и аз съм от Пловдив), че се бъркам в неща, които не разбирам, но двете решения са абсолютно еднакви. Според мен де.

[estoyanovvd]

Реално погледнато е така! Но ние тръгваме от конкретния пример, а Ганка ни е дала нещо като модел за други подобни задачи!

[gdimkov]

След като вече неколцина получиха решението х=5, аз се питам това единственото решение ли е.
Производната на функцията [tex]x^3-6x^2+12x-32[/tex] няма реални нули. Това означава, че тя е растяща за всяко х. Графиката й е позната - изтеглена с леки извивки от минус до плюс безкрайност. Графиката на [tex]\sqrt[3]{x+22} [/tex] представлява кубичната парабола, завъртяна на 90 градуса. Това вече навява на мисълта, че двете графики имат само една преечна точка. Едната върви вертикално, а другата - хоризонтално. (Това вече е съвсем нестрого разсъждение.)

[ганка симеонова]

Единственото е.

[martosss]

[ганка симеонова]

Март, във въпроса на Димков има резон, защото след като се върнем към старата променлива х, получаваме да- едно уравнение, което е от 3 степен, но то може да има и повече от едно решение. В случая, това няма.

[martosss]

и все пак, получава се кубично у-е... като му намерим корените става квадратно... не вярвам да премълчите, че полученото кубично у-е има повече от 1 корен, а и дори да има това не би било чак толкова трудно за съобразяване

[gdimkov]

"Като намерим един корен на кубично уравнение, то става квадратно" е толкова абсолютно вярно, че няма накъде. Въпросът е дали това квадратно уравнение има реални корени. Това от никъде не следва в общия случай.
Ще теоретизирам малко. Всяко уравнение от нечетна стеен с реални коефициенти има със сигурност един реален корен. Ако такова уравнение има комплексен корен, то и комплексно спрегнатото число е корен на уравнениео. Това обяснява всичко. Въпросът лесно се изследва с помщта на І производна. Ако тя няма реални корени, уравнението със сигурност има само един реален корен. Ако І производна има реални корени, те определят един минимум и един максимум. Ако тези две стойности са с противоположни знаци, уравнението със сигурност има три различни реални корена. Ако са с еднакви знаци, пак имаме само един корен.
С една дума общ случай има само, ако работим в комплексна област. Колкото е степента, толкова са корените, броени заедно с кратността им.

[martosss]

В случая на кубичното у-е му знаем коефициентите, знаем също така кой е реалният му корен => знаем коефициентите и на квадратното у-е.... сега вече никой не може да ни спре да отделим точен квадрат и да видим дали остатъкът е отрицателно или положително число(аджеба неотрицателна ли е дискриминантата или не ).

[gdimkov]

Имаме квадратно уравнение и то или има реални корени, или няма. За какво отделяне на точен квадрат може да става дума, след като е достатъчно да пресметнем дискриминантата.

[estoyanovvd]

[estoyanovvd]

Ако нещо не разбираш, питай и ще ти го обясним!!!

[ганка симеонова]

Март е абсолютно прав. Нормално е, да се отделя точен квадрат. Понятието ДИСКРИМИНАНТА идва точно, от това отделяне.