индукция със неравенството на Бернули + други закачки

[google]

да се докаже чрез индукция при х≥-1 n\in N

(1+x)ⁿ≥1+nx

намирам началото при n=1
приемам, че важи за всяко n\in N
допускам, че (1+х)ⁿ⁺¹≥1+(n+1)x
и започвам да решавам, а именно от х≥-1 => (x+1)≥0
затова умножавам 2те страни с (x+1)≥0
и получавам:

(1+х)ⁿ⁺¹≥(1+nx)(x+1)
(1+х)ⁿ⁺¹≥1+(n+1)x+nx²

това което ме притеснява е nx² знам че е ≥0 и не обръща знака на неравенството но все пак не е доказано напълно моля за Tips 'n' Tricks

[Реклама]

[gsinekliev]

Няма никаква философия.Просто пишеш така(това е от там докъдето си стигнал):
[tex](1+x)^{n+1}\ge (1+nx)(x+1) = 1 +x(n+1) + nx^2 \ge 1+(n+1)x[/tex]

[r2d2]

Да се док. с индукция, че [tex](1+x)^n \ge 1+nx[/tex], при [tex]x \ge -1[/tex] и [tex]n [/tex]- цяло положително.

1. База на индукцията: Неравенството е вярно за [tex]n=1.[/tex]

2. Индукционно предположение: Нека за [tex]x \ge -1[/tex] и [tex]m[/tex] - цяло, положително е изпълнено [tex](1+x)^m \ge 1+mx[/tex].

3. Ще докажем, че [tex](1+x)^{m+1} \ge 1+(m+1)x[/tex].

Наистина, от [tex](1+x)^m \ge 1+mx[/tex] и [tex]x \ge -1 \Rightarrow (1+x)^{m+1} \ge (1+mx)(1+x)[/tex],

Но [tex](1+mx)(1+x) =1+(m+1)x+mx^2 \ge 1+(m+1)x[/tex].

Горе-долу така трябва да изглежда доказателство с индукция.
Изречения от типа приемам, че важи за всяко n, са безумни!

[google]

ама дали не съм проС много мерси хора усетих го просто си го наслагвам щом по-голямо от по/голямо варви раутата а аз се опитвам да го дакарам до същият вид като предположението

[google]

съжалявам, че днес няма да престана да питам, имам тест в петък и сега минавам материала и всички въпроси поствам на добрите знаещи души

та поредно тъпите въпроси

1. Покажете за a≥b≥1, k\in N: a^k-b^k≥a-b

2. Покажете за a,b>0: модул( \sqrt{а} - \sqrt{b} ) ≤ корен2 от модул (а-b)

3. Определете най-малкото естествено число, за което следното твърдение е в сила и след това покажете чрез индукция, че е в сила за всички по-големи естествени числа

n³ - n се дели на 6

[Пафнутий]

[google]

ОК но трябва да го покажа с индукция не върви да кажа просто е на пич верно е

[Пафнутий]

Не мога да разбера защо ти е индукция.Разлагаш си го до[tex] (n-1)(n)(n+1)[/tex]. От 3 поредни числа, поне едно се дели на 3 и поне едно е четно, следователно [tex]n^3-n[/tex] е кратно на 6 за всяко цяло [tex]n[/tex]. Пиши това като решение- не ти трябва никаква индукция. Ето ти я индукцията.

Нека [tex]a_{n}=n^3-n[/tex]. Ще докажем,че [tex]6|a_{n}[/tex] по метода на пълната математическа индукция. При [tex]n=1[/tex]- твърдението е вярно. Да допуснем, че за произволно цяло [tex]k>1[/tex] имаме [tex]a_{k}[/tex] кратно на 6. Тъй като [tex]a_{k+1}=a_{k}+3k(k+1)[/tex], то индукционната стъпка е завършена и твърдението е доказано.

[r2d2]

Индукцията е мощен метод, но това не значи, че трябва да се прилага за щяло и нещяло.
Че [tex]n^3-n=n(n-1)(n+1)[/tex] се дели на 6 е очевидно за всеки.
Доказателството на Станислав с индукция формално е вярно, но не е доказано, че [tex]3n(n+1)[/tex] се дели на 6! И ако сме педантични трябва да докажем и този очеваден факт с индукция.

[google]

ааа мерси
а индукцията ми трябва защото в условието е казано чрез индукция да го докажа