Връзка между символите на Кронекер и Леви-Чивита

[Relinquishmentor]

При

[tex]i=1,2,3[/tex]
[tex]j=1,2,3[/tex]
[tex]k=1,2,3[/tex]

докажете, че

[tex]\varepsilon_{ijk} = \begin{vmatrix}\delta_{1i} & \delta_{1j} &\delta_{1k} \\ \delta_{2i} & \delta_{2j} & \delta_{2k} \\ \delta_{3i} & \delta_{3j} & \delta_{3k} \end{vmatrix}[/tex]

[Реклама]

[r2d2]

Mentor, ясно е че следваш физика. Ако искаш някой все пак да отговори, дефинирай:

1. Символ на Кронекер (това подозирам, че се знае).

2. Символ на Леви-Чивита (това съм убеден, че нормален човек не знае какво е).

[Relinquishmentor]

Символът на Леви-Чивита в тримерно пространство се дефинира така:

[tex]\varepsilon_{ijk} = \left\{\begin{matrix} (-1)^{[ijk]}, & \mbox{if }\mbox{ i\ne j\ne k} \\ 0, & \mbox{otherwise}\mbox{ } \end{matrix}\right[/tex]

[nikko1]

[tex]\delta_{ij}=\left\{ \begin{array}{cc} {1,\ i \ne j} \\ {0,\ i = j} \\\end{array} \right.[/tex] , [tex]\ [ijk][/tex] е броят на инверсиите в пермутацията [tex]i,\ j,\ k.[/tex]
I. Да разгледаме случая [tex]i=j[/tex] или [tex]i=k[/tex] или [tex]j=k[/tex].
Тогава детерминантата [tex]\begin{vmatrix}\delta_{1i} & \delta_{1j} &\delta_{1k} \\ \delta_{2i} & \delta_{2j} & \delta_{2k} \\ \delta_{3i} & \delta_{3j} & \delta_{3k} \end{vmatrix}[/tex] имаме 2 еднакви стълба. Наистина това са:
- първи и втори, ако [tex]i=j[/tex];
- първи и трети, ако [tex]i=k[/tex];
- втори и трети, ако [tex]j=k[/tex].
Но от свойствата на детерминантите се знае, че детерминанта с два равни стълба е нула.
II. Ако [tex]i\neq j\neq k[/tex]. Тогава [tex]i,\ j,\ k[/tex] е пермутация на числата 1, 2, 3.
Според общото определение за детерминанта имаме
[tex]\begin{vmatrix}\delta_{1i} & \delta_{1j} &\delta_{1k} \\ \delta_{2i} & \delta_{2j} & \delta_{2k} \\ \delta_{3i} & \delta_{3j} & \delta_{3k} \end{vmatrix}=\sum\limits_{abc \in S_3 } {( - 1)^{[abc]} \delta _{1a} .\delta _{2b}. \delta _{3c} } = (-1)^{[ijk]} \delta _{ii}. \delta _{jj}. \delta _{kk} = ( - 1)^{[ijk]} .1.1.1 = ( - 1)^{[ijk]}[/tex]
В началото сумирането е по всички пермутации [tex]abc[/tex] на числата 1, 2, 3, но в горната сума всички делти са нули с изключение на [tex]\delta_{11},\ \delta_{22},\ \delta_{33}[/tex] и значи от шестте събираеми остава само едно [tex](-1)^{[ijk]} \delta _{ii}. \delta _{jj}. \delta _{kk}[/tex], а според определението на делта имаме [tex] \delta _{ii}=\delta _{jj}= \delta _{kk}=1[/tex].

Като се обобщят двата случая се получава тъждеството
[tex]\varepsilon _{ijk} = \left\{ {\begin{array}{cl} {( - 1)^{[ijk]}} &{\mbox{\cyr{, ako }i\neq j\neq k}\hspace{1cm}} \\ {0} &\mbox{\cyr{, v protiven sluchai}}\\\end{array}} \right.\ =\begin{vmatrix}\delta_{1i} & \delta_{1j} &\delta_{1k} \\ \delta_{2i} & \delta_{2j} & \delta_{2k} \\ \delta_{3i} & \delta_{3j} & \delta_{3k} \end{vmatrix}.[/tex]

Хайде със здраве

[Relinquishmentor]

Да, така е

П.П. Не знаех, че латекса поддържа кирилица

[nikko1]

Ами да поддържа LaTeX-а, не бях сигурен за този онлайн компилатор, който кода го прави на снимка, но се оказа, че поддържа старата версия на кирилицата в Лейтех, която е с командата \cyr{tekst}, като в скобките се пише на латиница, но трябва да видиш как се пишат по-специалните букви като ч, ц, й, ь и т.н.