Регистрирайте сеРегистрирайте се

Докажете 1^3 + 2^3 + 3^3 +...+n^3 = [n*(1/2)*(n+1)]^2


 
   Форум за математика Форуми -> Граници на редици и функции
Предишната тема :: Следващата тема  
Автор Съобщение
vive99
Начинаещ


Регистриран на: 11 Nov 2008
Мнения: 4


МнениеПуснато на: Tue Nov 11, 2008 9:41 am    Заглавие: Докажете 1^3 + 2^3 + 3^3 +...+n^3 = [n*(1/2)*(n+1)]^2

Имам събрани няколко задачи, които така и не можах да реша. Ако може да ми помогнете:

Докажете 1^3 + 2^3 + 3^3 +...+n^3 = [n*(1/2)*(n+1)]^2

Намерете границата: lim(n->bezkr.) (1/(1*4) + 1/(4*7) +...+ 1/[(1+3n)(4+3n)]


И пак граница: lim(n->bezkr.) (5^n - 6^n)/(5^(n+1) + 6^(n+1))

Благодаря ви предварително!!!
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Реклама







Пуснато на:     Заглавие: Реклама

Върнете се в началото
vive99
Начинаещ


Регистриран на: 11 Nov 2008
Мнения: 4


МнениеПуснато на: Tue Nov 11, 2008 10:46 am    Заглавие:

Първите две ги реших остава последната...някой?
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
martosss
VIP Gold


Регистриран на: 17 Mar 2007
Мнения: 3937
Местожителство: Somewhere over the rainbow
Репутация: 424.2Репутация: 424.2
гласове: 213

МнениеПуснато на: Tue Nov 11, 2008 4:50 pm    Заглавие:

пробвай да изнесеш 6n пред скоба и използвай, че [tex]\lim_{n\right \infty} {p\over q}=0[/tex], където p<q Wink
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
vive99
Начинаещ


Регистриран на: 11 Nov 2008
Мнения: 4


МнениеПуснато на: Tue Nov 11, 2008 10:45 pm    Заглавие:

Това свойство са пропуснали да ни го кажат. Благодаря ти оправих се Smile
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
martosss
VIP Gold


Регистриран на: 17 Mar 2007
Мнения: 3937
Местожителство: Somewhere over the rainbow
Репутация: 424.2Репутация: 424.2
гласове: 213

МнениеПуснато на: Tue Nov 11, 2008 10:50 pm    Заглавие:

всъщност е [tex]\lim_{n\right \infty} \left(\frac{p}{q}\right)^n=0[/tex], това на n-ta е важно... а пък иначе то е логично, че дробта като е между 0 и 1 и като я вдигаш на много голяма степен тя ще намалява, намалява и накрая ще стане 0.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
vive99
Начинаещ


Регистриран на: 11 Nov 2008
Мнения: 4


МнениеПуснато на: Wed Nov 12, 2008 6:56 pm    Заглавие:

Да де то е логично ама като не го знам изобщо не съм се сетила за такъв вариант Wink
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
kenserante
Начинаещ


Регистриран на: 15 Nov 2008
Мнения: 15

Репутация: 1.1

МнениеПуснато на: Mon Nov 17, 2008 7:43 pm    Заглавие:

martosss написа:
пробвай да изнесеш 6n пред скоба и използвай, че [tex]\lim_{n\right \infty} {p\over q}=0[/tex], където p<q Wink

Не мисля че само това ще стигне защото тогава ще получиш [tex]\infty*\frac{-1}{\infty}[/tex],коет по същество незнаеш дали е 0,-1,или -безкрайност.
А ето защо и границата не е 0:
Нека [tex]a_{n}=\frac{5^n-6^n}{5^{n+1}+6^{n+1}} \Rightarrow a_{1}=\frac{-1}{61}[/tex]. Сега забелязваме че [tex]a_{n}>a{n+1}[/tex] което се доказва като положим 5 на нта с а, а 6 на нта с b:
[tex]\frac{a-b}{5a+5b}>\frac{5a-5b}{25a+36b} \Leftrightarrow 25a^2-36b^2+11ab>25a^2-36b^2[/tex] което е вярно защото а и b са положителни.
Тоест тази ердица почва от [tex]\frac{-1}{61}[/tex] и нататъка намалява а не расте към 0.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
kenserante
Начинаещ


Регистриран на: 15 Nov 2008
Мнения: 15

Репутация: 1.1

МнениеПуснато на: Mon Nov 17, 2008 9:43 pm    Заглавие:

Eто и решението:
Нека [tex]a_{n}=\frac{5^n-6^n}{5^{n+1}+6^{n+1}}[/tex]
След преобразувания получваме че [tex]5^n=\frac{6^n(6a_{n}+1)}{1-5a_{n}}[/tex]
Тогава изразяваме рекорентната връзка на редицата,като заместим в следващия член и получаваме [tex]a_{n+1}=\frac{60a_{n}-1}{61-30a_{n}}[/tex].
От доказанато по-горе следва че редицата е монотонно намаляваща. Лесно се доказва че тя е и ограничена от -1. Следователно тя е сходяща.
[tex]\lim_{n\to\infty}a_{n}=L. \Rightarrow \lim_{n\to\infty}a_{n+1}=L[/tex],но [tex] \lim_{n\to\infty}a_{n+1}=\frac{60a_{n}-1}{61-30a_{n}} \Rightarrow L=\frac{60L-1}{61-30L}[/tex]
Свежда се до:
[tex]30L^2-L-1=0 \Rightarrow D=121 \Rightarrow L_{1,2}=\frac{1\pm11}{60}[/tex] ,но сме доказали че L<0
[tex]\Rightarrow L=\frac{-1}{6}[/tex]
Oтг. [tex]L=\frac{-1}{6}[/tex]


Последната промяна е направена от kenserante на Mon Nov 17, 2008 9:56 pm; мнението е било променяно общо 1 път
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
r2d2
VIP


Регистриран на: 28 Feb 2007
Мнения: 1936
Местожителство: in the galaxy (Far Far Away)
Репутация: 311.2Репутация: 311.2
гласове: 179

МнениеПуснато на: Mon Nov 17, 2008 9:54 pm    Заглавие:

Нека [tex]a_{n}=\frac{5^n-6^n}{5^{n+1}+6^{n+1}}[/tex]

[tex]a_{n}=\frac{6^n({\frac{5}{6}^n-1)}}{6^{n+1}(\frac{5}{6}^{n+1}+1)}->-\frac {1}{6}[/tex].

Предполагам, че това е имал в предвид мартосс!

Другото са щуротии!

И се пише рекУрентна, нищо че е нецензурно!
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
gdimkov
Напреднал


Регистриран на: 21 Jun 2008
Мнения: 413
Местожителство: София
Репутация: 29.1Репутация: 29.1Репутация: 29.1
гласове: 17

МнениеПуснато на: Tue Nov 18, 2008 10:33 am    Заглавие:

Малко скоби не ти достигат. [tex]\left (\frac {5}{6}\right )^n[/tex]
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
martosss
VIP Gold


Регистриран на: 17 Mar 2007
Мнения: 3937
Местожителство: Somewhere over the rainbow
Репутация: 424.2Репутация: 424.2
гласове: 213

МнениеПуснато на: Tue Nov 18, 2008 5:57 pm    Заглавие:

r2d2 написа:
Предполагам, че това е имал в предвид мартосс!

Точно това имах в предвид Smile , на нас в училище така ни ги обясниха, и наистина някак си се типизират задачите Smile
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Покажи мнения от преди:   
   Форум за математика Форуми -> Граници на редици и функции Часовете са според зоната GMT + 2 Часа
Страница 1 от 1

 
Идете на:  
Не Можете да пускате нови теми
Не Можете да отговаряте на темите
Не Можете да променяте съобщенията си
Не Можете да изтривате съобщенията си
Не Можете да гласувате в анкети
Може да прикачвате файлове
Може да сваляте файлове от този форум
Copyright © 2005-2021 math10.com.