Предишната тема :: Следващата тема |
Автор |
Съобщение |
vive99 Начинаещ
Регистриран на: 11 Nov 2008 Мнения: 4
|
Пуснато на: Tue Nov 11, 2008 9:41 am Заглавие: Докажете 1^3 + 2^3 + 3^3 +...+n^3 = [n*(1/2)*(n+1)]^2 |
|
|
Имам събрани няколко задачи, които така и не можах да реша. Ако може да ми помогнете:
Докажете 1^3 + 2^3 + 3^3 +...+n^3 = [n*(1/2)*(n+1)]^2
Намерете границата: lim(n->bezkr.) (1/(1*4) + 1/(4*7) +...+ 1/[(1+3n)(4+3n)]
И пак граница: lim(n->bezkr.) (5^n - 6^n)/(5^(n+1) + 6^(n+1))
Благодаря ви предварително!!! |
|
Върнете се в началото |
|
|
Реклама
|
Пуснато на: Заглавие: Реклама |
|
|
|
|
Върнете се в началото |
|
|
vive99 Начинаещ
Регистриран на: 11 Nov 2008 Мнения: 4
|
Пуснато на: Tue Nov 11, 2008 10:46 am Заглавие: |
|
|
Първите две ги реших остава последната...някой? |
|
Върнете се в началото |
|
|
martosss VIP Gold
Регистриран на: 17 Mar 2007 Мнения: 3937 Местожителство: Somewhere over the rainbow гласове: 213
|
Пуснато на: Tue Nov 11, 2008 4:50 pm Заглавие: |
|
|
пробвай да изнесеш 6n пред скоба и използвай, че [tex]\lim_{n\right \infty} {p\over q}=0[/tex], където p<q |
|
Върнете се в началото |
|
|
vive99 Начинаещ
Регистриран на: 11 Nov 2008 Мнения: 4
|
Пуснато на: Tue Nov 11, 2008 10:45 pm Заглавие: |
|
|
Това свойство са пропуснали да ни го кажат. Благодаря ти оправих се |
|
Върнете се в началото |
|
|
martosss VIP Gold
Регистриран на: 17 Mar 2007 Мнения: 3937 Местожителство: Somewhere over the rainbow гласове: 213
|
Пуснато на: Tue Nov 11, 2008 10:50 pm Заглавие: |
|
|
всъщност е [tex]\lim_{n\right \infty} \left(\frac{p}{q}\right)^n=0[/tex], това на n-ta е важно... а пък иначе то е логично, че дробта като е между 0 и 1 и като я вдигаш на много голяма степен тя ще намалява, намалява и накрая ще стане 0. |
|
Върнете се в началото |
|
|
vive99 Начинаещ
Регистриран на: 11 Nov 2008 Мнения: 4
|
Пуснато на: Wed Nov 12, 2008 6:56 pm Заглавие: |
|
|
Да де то е логично ама като не го знам изобщо не съм се сетила за такъв вариант |
|
Върнете се в началото |
|
|
kenserante Начинаещ
Регистриран на: 15 Nov 2008 Мнения: 15
|
Пуснато на: Mon Nov 17, 2008 7:43 pm Заглавие: |
|
|
martosss написа: | пробвай да изнесеш 6n пред скоба и използвай, че [tex]\lim_{n\right \infty} {p\over q}=0[/tex], където p<q |
Не мисля че само това ще стигне защото тогава ще получиш [tex]\infty*\frac{-1}{\infty}[/tex],коет по същество незнаеш дали е 0,-1,или -безкрайност.
А ето защо и границата не е 0:
Нека [tex]a_{n}=\frac{5^n-6^n}{5^{n+1}+6^{n+1}} \Rightarrow a_{1}=\frac{-1}{61}[/tex]. Сега забелязваме че [tex]a_{n}>a{n+1}[/tex] което се доказва като положим 5 на нта с а, а 6 на нта с b:
[tex]\frac{a-b}{5a+5b}>\frac{5a-5b}{25a+36b} \Leftrightarrow 25a^2-36b^2+11ab>25a^2-36b^2[/tex] което е вярно защото а и b са положителни.
Тоест тази ердица почва от [tex]\frac{-1}{61}[/tex] и нататъка намалява а не расте към 0. |
|
Върнете се в началото |
|
|
kenserante Начинаещ
Регистриран на: 15 Nov 2008 Мнения: 15
|
Пуснато на: Mon Nov 17, 2008 9:43 pm Заглавие: |
|
|
Eто и решението:
Нека [tex]a_{n}=\frac{5^n-6^n}{5^{n+1}+6^{n+1}}[/tex]
След преобразувания получваме че [tex]5^n=\frac{6^n(6a_{n}+1)}{1-5a_{n}}[/tex]
Тогава изразяваме рекорентната връзка на редицата,като заместим в следващия член и получаваме [tex]a_{n+1}=\frac{60a_{n}-1}{61-30a_{n}}[/tex].
От доказанато по-горе следва че редицата е монотонно намаляваща. Лесно се доказва че тя е и ограничена от -1. Следователно тя е сходяща.
[tex]\lim_{n\to\infty}a_{n}=L. \Rightarrow \lim_{n\to\infty}a_{n+1}=L[/tex],но [tex] \lim_{n\to\infty}a_{n+1}=\frac{60a_{n}-1}{61-30a_{n}} \Rightarrow L=\frac{60L-1}{61-30L}[/tex]
Свежда се до:
[tex]30L^2-L-1=0 \Rightarrow D=121 \Rightarrow L_{1,2}=\frac{1\pm11}{60}[/tex] ,но сме доказали че L<0
[tex]\Rightarrow L=\frac{-1}{6}[/tex]
Oтг. [tex]L=\frac{-1}{6}[/tex]
Последната промяна е направена от kenserante на Mon Nov 17, 2008 9:56 pm; мнението е било променяно общо 1 път |
|
Върнете се в началото |
|
|
r2d2 VIP
Регистриран на: 28 Feb 2007 Мнения: 1936 Местожителство: in the galaxy (Far Far Away) гласове: 179
|
Пуснато на: Mon Nov 17, 2008 9:54 pm Заглавие: |
|
|
Нека [tex]a_{n}=\frac{5^n-6^n}{5^{n+1}+6^{n+1}}[/tex]
[tex]a_{n}=\frac{6^n({\frac{5}{6}^n-1)}}{6^{n+1}(\frac{5}{6}^{n+1}+1)}->-\frac {1}{6}[/tex].
Предполагам, че това е имал в предвид мартосс!
Другото са щуротии!
И се пише рекУрентна, нищо че е нецензурно! |
|
Върнете се в началото |
|
|
gdimkov Напреднал
Регистриран на: 21 Jun 2008 Мнения: 413 Местожителство: София гласове: 17
|
Пуснато на: Tue Nov 18, 2008 10:33 am Заглавие: |
|
|
Малко скоби не ти достигат. [tex]\left (\frac {5}{6}\right )^n[/tex] |
|
Върнете се в началото |
|
|
martosss VIP Gold
Регистриран на: 17 Mar 2007 Мнения: 3937 Местожителство: Somewhere over the rainbow гласове: 213
|
Пуснато на: Tue Nov 18, 2008 5:57 pm Заглавие: |
|
|
r2d2 написа: | Предполагам, че това е имал в предвид мартосс! |
Точно това имах в предвид , на нас в училище така ни ги обясниха, и наистина някак си се типизират задачите |
|
Върнете се в началото |
|
|
|