Две граници с параметър

[gsinekliev]

Здравейте отново!
От два дена се опитвам да реша тези граници и почти до никъде не стигам.Ще съм ви много благодарен ако ме упътите как да подходя с тях.
Да се намерят границите:
[tex]lim_{x \to a}\frac{sqrt{x^2 + 3a^2} -2a}{sqrt{5x^2 - a^2} -2a}[/tex]

[tex]lim_{x\right \infty}(sqrt{(x+a)(x+b)} - x)[/tex]
Eто и отговорите:
1- При a>0, a = [tex]\frac{1}{5}[/tex]
При a=0, a = [tex]\frac{1}{sqrt{5}}[/tex]
При a<0, a = 1
2-задача [tex]\frac{a+b}{2}[/tex]

На първата като рационализирам числителя и знаменателя получавам един израз и като използвам че x клони към a и замествам.След това използвам че [tex]sqrt(a^2)=|a|[/tex] и разглеждам случайте за a>0 , a<0.За a>0 се получава 1/5 обаче нищо друго не излиза.Благодаря предварително на всички които са си направили труда да прочетат поста ми.

[Реклама]

[Relinquishmentor]

Имаме:

[tex] \lim_{x \to a} \, \frac{sqrt{x^2 + 3a^2} -2a}{sqrt{5x^2 - a^2} -2a} [/tex]

Ако [tex]a<0[/tex] правим пряк граничен преход:

[tex]\lim_{x \to a} \, \frac{sqrt{x^2 + 3a^2} -2a}{sqrt{5x^2 - a^2} -2a} = \frac{sqrt{a^2 + 3a^2} -2a}{sqrt{5a^2 - a^2} -2a} = \frac{2\mid a\mid - 2a}{2\mid a\mid - 2a } = \frac{-2a - 2a}{-2a -2a} = 1 [/tex]

Ако [tex]a = 0[/tex], също :

[tex]\lim_{x \to 0} \, \frac{sqrt{x^2}}{sqrt{5x^2 }} = \lim_{x \to 0} \, \frac{\mid x \mid}{\sqrt{5} \mid x \mid } = \frac{1}{\sqrt{5} } [/tex]

Ако [tex]a>0[/tex], смятаме обикновена граница:

[tex]\lim_{x \to a} \, \frac{sqrt{x^2 + 3a^2} -2a}{sqrt{5x^2 - a^2} -2a}.\frac{sqrt{x^2 + 3a^2} +2a}{sqrt{x^2 + 3a^2} +2a}.\frac{sqrt{5x^2 - a^2} +2a}{sqrt{5x^2 - a^2} +2a} = \lim_{x \to a} \, \frac{(x^2 - a^2 )(sqrt{5x^2 - a^2} +2a)}{(sqrt{x^2 + 3a^2} +2a)(5x^2 - 5a^2) } = \frac{1}{5} [/tex]

Втора по същия начин.

[ганка симеонова]

Вих какво. Значи, нормално е, да анализираш параметъра. Но, основно правило е, да преобразуваш ф-та, само ако след ДИРЕКТЕН ГРАНИЧЕН ПРЕХОД получиш неопределеност.
Нека а=0=>имаш границата [tex] lim_{x->0} \frac{\sqrt{x^2} }{5x^2 } =\frac{1}{ \sqrt{5} } [/tex]
Ако [tex] ,a<0[/tex], няма да получиш неопределеност, защото в първоначалната функция
[tex]-2a>0[/tex]. Ще имаш
[tex] lim_{x->0}\frac{|2a|-2a}{|2a|-2a } = lim_{x->0}\frac{-4a}{-4a } =1 [/tex]
Ако, обаче а>0, тогава ще имаш неопределеност и рацинолизирайки, след граничен преход, ще получиш заветното 1/5.

[ганка симеонова]

Преписах, от Злати

[gsinekliev]

А винаги ли анализираме параметъра за тези три случая(a>0,a<0, a=0),щото аз правя така:
[tex]\lim_{x \to a} \, \frac{sqrt{x^2 + 3a^2} -2a}{sqrt{5x^2 - a^2} -2a}.\frac{sqrt{x^2 + 3a^2} +2a}{sqrt{x^2 + 3a^2} +2a}.\frac{sqrt{5x^2 - a^2} +2a}{sqrt{5x^2 - a^2} +2a} = \lim_{x \to a} \, \frac{(x^2 - a^2 )(sqrt{5x^2 - a^2} +2a)}{(sqrt{x^2 + 3a^2} +2a)(5x^2 - 5a^2) }[/tex]
Замествам x със a и като получа [tex]\frac{2|a|+2a}{5(2|a|+2a)} [/tex]разглеждам двата случай a>=0 и a<0 като за второто получавам неопределеност.
Изобщо може ли да се анализира параметъра на друг етап на решаването на задачата освен в началото и как да разбера какви случай да разглеждам без да гледам отговора .