Трапец и окръжност

[Spider Iovkov]

Трапец [tex]ABCD[/tex] е вписан в окръжност с радиус [tex]R[/tex]. Диагоналите на трапеца се пресичат в точка [tex]E[/tex] и [tex]AE:EC=3:1[/tex], [tex]\angle DEC=60^\circ[/tex]. Определете лицето на трапеца.

Вие колко получавате?

[Реклама]

[r2d2]

Изглежда АД и ВС са основите. Получавам [tex]S=\frac {4R^2 \sqrt 3}{7}[/tex].
A ти, колко получаваш?

[Spider Iovkov]

Трапецът е [tex]ABCD[/tex], като [tex]AD||BC[/tex]. Ясно е, че след като е вписан в окръжността, трапецът е равнобедрен и [tex]\angle ABC+\angle ADC=\angle BAC+\angle BCD=180^\circ[/tex]. Но [tex]\angle ADB=\frac{\stackrel{\rotatebox{90}{\Big)}}{AB}}{2}, \angle DAC=\frac{\stackrel{\rotatebox{90}{\Big)}}{CD}}{2}; AB=DC[/tex].
[tex]\triangle ADE: AE=DE \Rightarrow \angle DAE=\angle ADE=30^\circ, \angle AED=120^\circ.[/tex]
[tex]\triangle ADB: \frac{AB}{sin\angle ADB}=2R \Leftrightarrow \frac{AB}{sin30^\circ}=2R \Leftrightarrow \fbox{AB=R} \Rightarrow \fbox{CD=R}; A\in k, B\in k, D\in k[/tex].
[tex]\triangle CED: CD^2=CE^2+DE^2-2.CE.DE.cos60^\circ \Leftrightarrow (R\sqrt{3})^2=x^2+(3x)^2-2.x.3x.cos60^\circ \Leftrightarrow \fbox{x=\frac{R\sqrt{7}}{7}} \Rightarrow \fbox{AE=\frac{3R\sqrt{7}}{7}}, \fbox{CE=\frac{R\sqrt{7}}{7}}[/tex].
[tex]\triangle ADE\approx \triangle CBE \Rightarrow \frac{AD}{BC}=\frac{DE}{BE}=\frac{AE}{CE} \Rightarrow BC=\frac{AD.CE}{AE} \Leftrightarrow \fbox{BC=\frac{R\sqrt{21}}{7}}[/tex].
Нека [tex]CC_{1}[/tex] е височината в трапеца, [tex]C_{1}\in AD[/tex]. От [tex]\triangle AC_{1}C[/tex] намираме [tex]sin\angle CAC_{1}=\frac{CC_{1}}{AC} \Rightarrow CC_{1}=ACsin30^\circ \Leftrightarrow \fbox{CC_{1}=\frac{2R\sqrt{7}}{7}}[/tex]
[tex]\Rightarrow S_{ABCD}=\frac{AD+BC}{2}.CC_{1}=(\frac{3R\sqrt{21}}{7}+\frac{R\sqrt{21}}{7}).\frac{2R\sqrt{7}}{7}.\frac{1}{2} \Leftrightarrow S_{ABCD}=\frac{4R^2\sqrt{3}}{7}[/tex]

[r2d2]

[martosss]

[r2d2]

Така, дойдохме си на думата!

Че АВ=СД е очевидно, защото трапецът като вписан е равнобедрен!

Че АВ=СД не е очевидно, защото в България, нормално това не са бедрата, а са основите на трапеца.

Поради това, моля тези които пускат задачи да се съобразяват с (вярно, неписаните) български стандарти! Не е голям проблем, да се сменят означенията!

[martosss]

Аз знам, че не пречи да е с основи АД и ВС, но защо точно тях, защо не АВ и СД да са основите?

Щом в случая излишно не е споменато, че трапецът е с основи АД и ВС не трябва ли да се разгледат два случая - когато е с основи АД и ВС и когато е с основи АВ и СД и единият случай евентуално да се отхвърли, или пък и двата да дават решение?

[Mastinka90]

ами да,ама той единия случай отпада,защото се получава противоречие..

[martosss]

ясно