Задача с тригонометрична функция

[Spider Iovkov]

Да се определят всички реални стойности на [tex]x[/tex] в интервала [tex]0\le x\le 2\pi[/tex], за които е изпълнено неравенството

[tex]sin(x+a)\le sin x+sin a[/tex].

[Реклама]

[martosss]

[tex]\sin(x+a)-\sin x\le \sin a\\\N 2\sin(\frac{2x+a}{2})\cos({a\over 2})\le \N 2\sin({a\over 2})\cos({a\over 2})\\\cos({a\over 2}) \left[\sin(\frac{2x+a}{2})-\sin({a\over 2})\right]\le 0\\\cos({a\over 2})\left[2\sin({x\over 2})\cos({x+a \over 2})\right]\le 0\\\cos({a\over 2})\sin({x\over 2})cos({x+a\over 2})\le 0[/tex]
Сега се разглеждат различни случаи за а, примерно а=0... и се решава

[estoyanovvd]

За а-то нещо не е ли дадено?

[martosss]

мда, много кофти случаи стават, аз за това не ги разглеждам

[Spider Iovkov]

За съжаление нищо не е упоменато. Тогава може да се предполага, че това число също приема всякакви стойности.

[estoyanovvd]

[ганка симеонова]

И аз така мисля, след като нищо не е казано за а.

[estoyanovvd]

Изтрито!!!

[r2d2]

Първо да решим уравнението ( никакви ограничения за х и а):
[tex]\sin (x+a)-\sin x = sin a \Rightarrow 2\sin \frac{a}{2}\cos \frac{2x+a}{2}=2\sin \frac{a}{2} \cos \frac {a}{2}[/tex].
1. [tex]\sin \frac{a}{2}=0 \Rightarrow a=2k\pi[/tex]
2. [tex]\cos \frac{2x+a}{2}= \cos \frac {a}{2}[/tex]

2.1 [tex]\frac{2x+a}{2}= \frac {a}{2}+2n\pi \Rightarrow x=2n\pi[/tex]

2.2 [tex]\frac{2x+a}{2}= -\frac {a}{2}+2m\pi \Rightarrow x+a=2m\pi[/tex].

Тези прави разбиват равнината на триъгълничета, като във всяко от тях строгото неравенство или е вярно (навсякъде) или никъде де е вярно!
Ето и картинка. Лесно се вижда, че нер. не е изпълнено за [tex]x=a=\pi/2[/tex] (червената точка на картинката).

Сините области + контурът им са решения на задачата.

[estoyanovvd]

[ганка симеонова]

Споко, колега. Извод: Не се доверявайте на десетокласник, прилагащ формули за тригонометрични преобразувания.

[martosss]

Много се извинявам, уж ми излезнаха тия формули, явно нещо съм го недогледал или съм гледал грешната формула, аз от справочника ги гледам и те там както са една до друга и съм гледал грешната