Въпрос по Полиноми

[hikari]

Здравейте.
Значи не мога да си обясня решаването на няколко задачи, ако може някой да помогне с по 1 решение, поне да разбера как се решават, ще съм много благодарен.

1. Да се намери полином P(x) от втора степен, за който P(x+1)-P(x)=8x+3 и P(0)=5

отг. P(x)=4x²-x+5

2. Да се намерят полиномите P(x) и Q(x) съответно от втора и трета степен, за които е изпълнено тъждеството:
P(x).(x⁴+1)-Q(x).(x³-1)=2

отг. P(x)=x²-x+1, Q(x)=x³-x²+x+1

3. Да се нареди полиномът f(x) по степените на (x-x₀)
f(x)=x⁴-2x³-3x²+2x+5, x₀=2

Малко помощ моля.

[Реклама]

[ганка симеонова]

1) [tex]P(x)=ax^2+bx+c ; P(0)=5=>c=5=>P(x)=ax^2+bx+5 [/tex]
[tex]P(x+1)=a(x+1)^2+b(x+1)+5[/tex]
[tex]=>P(x+1)-P(x)=2ax+(a+b) [/tex], но [tex]P(x+1)-P(x)=8x+3 => [/tex]
[tex]2a=8; a+b=3=>a=4; b=-1 =>P(x)=4x^2-x+5 [/tex]

[hikari]

Благодаря много.

[dim]

За втората задача:

Нека [tex]P(x)=p_2x^2+p_1x+p_0[/tex] и [tex]Q(x)=q_3x^3+q_2x^2+q_1x+q_0[/tex]

Като използваме, че [tex]S(x)=P(x).(x^4+1)-Q(x).(x^3-1)=2[/tex] получаваме: [tex]S(x)=(p_2-q_3)x^6+(p_1-q_1)x^5+(p_0-q_1)x^4+(q_3-q_0)x_3+(p_2+q_2)x^2+(p_1+q_1)x+p_0+q_0=2[/tex]=> [tex]p_2=q_3,p_1=q_2,p_0=q_1,q_3=q_0,p_2=-q_2,p_1=-q_1,p_0+q_0=2[/tex]. Седем уравнения, седем неизвестни. Значи и коефициентите са определими. Дори и да съм объркал нещо по сметките смятам, че идеята е ясна.

[ганка симеонова]

за 3)Положи [tex]x-2=u=>x=2+u=>P(x)=(2+u)^4-2(2+u)^3-3(2+u)^2+2(2+u)+5 [/tex]
Разкрий скобите и направи приведение. Така ще получиш полином на u, т.е., на x-2

[dim]

[r2d2]

За зад. 3

Нека P(x) e полином oт степен 4. Търсим представяне [tex]P(x)=a_4(x-2)^4+a_3(x-2)^3+ a_2(x-2)^2 +a_1(x-2)+a_0[/tex]. Като заместим с [tex]x=2[/tex] имаме[tex] P(2)=a_0.[/tex]
Диференцираме двете страни и получаваме: [tex]P'(x)=4a_4(x-2)^3+3a_3(x-2)^2+2a_2(x-2)+a_1[/tex].Като заместим с [tex]x=2[/tex] имаме[tex] P'(2)=a_1.[/tex] Продължаваме да диференцираме и да заместваме, получаваме [tex]P''(2)=2a_2; \; P'''(2)=1.2.3.a_3 \; P^{(4)}(2)=1.2.3.4.a_4[/tex].
По подобен начин:
Ако P(x) e от степен n.

[tex]P(x)=P(a)+P'(a)(x-a)+\frac{P''(a)}{2!}(x-a)^2+\cdots +\frac{P^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n[/tex].
Получихме формулата на Тейлър за полином.

[hikari]

Благодаря много на всички, нямате си идея колко много ми помогнахте.

[hikari]

Още 1 въпрос ако може.

Как се намират нулите на даден полином и как да го представя в каноичен вид?

Примерно на [tex]P(x)=x^4-4x^3+5x^2-4x+4[/tex]

[Kamelliq]

нулите не означава ли корените?

[ганка симеонова]

Трябва да го представиш като произведение от неразложими полиноми. Това става с помощта на корените.
В случая полиномът има един двоен корен х=2.Тогава разлагането става във вида
[tex]P(x)=(x-2)^2(x^2+1) [/tex]

[hikari]

Мхм ясно, значи пак с Хорнер, благодаря отново.

[ганка симеонова]