Задача, която има нещо общо с предишната!

[estoyanovvd]

Докажете, че поне едно от лицата на триъгълниците AKM и BNK не надминава една осма от лицето на триъгълника ABC.



Това е задача 10371, която с малко изменено условие е публикувана в американското

[Реклама]

[Makelov]

Нека АМ/АС=[tex]\alpha [/tex], CN/BC=[tex]\beta [/tex], МK/MN=[tex]\gamma [/tex]. Очевидно всяка от тези три променливи лежи в интервала [0,1] и те могат да се променят независимо една от друга. Без ограничение лицето на триъгълника АВС приемаме за единица.
Лесно се доказва, че [tex]S(AMK)=\alpha \beta \gamma [/tex] и [tex]S(BNK)=(1-\alpha)(1-\beta )(1-\gamma) [/tex]
Сега нека предположим, че и двете лица са по-големи от 1/8. Имаме последователно

[tex]1/2< \sqrt[3]{(1-\alpha)(1-\beta)(1-\gamma)} \le \frac{3- (\alpha+\beta+\gamma) }{3} \le \frac{3-3\sqrt[3]{\alpha \beta \gamma } }{3 } < \frac{3-3/2}{ 3} =1/2 [/tex]
Противоречие, следователно поне едно от лицата не надминава една осма от лицето на ABC.

[estoyanovvd]

Браво!!!

[Makelov]

Мерси. Едно питане: оригиналното решение същата (или еквивалентна на нея) идея ли използва?

[estoyanovvd]

Значи питаш за моето решение. Аз доколкото си спомням означих пак отношенията на отсечките върху страните на триъгълника с m и n , но след това изразих лицата при допускането, че те са равни и доказах, че тогава не надминават една осма от лицето на АВС. След това е ясно, че когато точката К се премести от положението на равенството, то единото лице расте, а другото намалява. И естествено пак използвах неравенството между средно аритметично и средно геометрично.