Скаларно произведение на вектори

[pkiari]

da se nameri \vec{x} \bot \vec{a} ,\bot \vec{b} imash duljina 2\sqrt{14}
\vec{a} (1:1:1)
\vec{b} (3:4:1)

[Реклама]

[ганка симеонова]

[ганка симеонова]

за да бъдат два вектора a и b с координати [tex] a(x_1; y_1, z_1)[/tex] и [tex]b(x_2; y_2; z_2) [/tex]перпендикулярни, трябва скаларното им произведение да е 0=>
[tex]x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2=0 [/tex]
Дължината на вектора а например ще е [tex]\sqrt{x_1^2+y_1^2+z_1^2 } [/tex]
Ако означим координатите на вектора [tex]x(k, l, m)[/tex] получим следните условия в система:
[tex]k+l+m=0 [/tex][tex]=>m=-k-l [/tex]
[tex]3k+4l+m=0 [/tex]
[tex]k^2+l^2+m^2=56 [/tex]
Системата не е от най приятните. Вадим почленно първите две уравнения и получаваме
[tex]2k+3l=0=>k=-\frac{3}{2 }l [/tex](1)
Повдигаме първото уравнение на втора степен. Получаваме
[tex]k^2+l^2+m^2+2(kl+lm+km)=0=>kl+lm+km=-28 [/tex]
[tex]=>kl+m(k+l)=-28=>kl+(-k-l)(k+l)=-28=>kl-(k+l)^2=-28 [/tex]
Заместваме (1) в полученото уравнение => [tex]l^2=16=>l=\pm 4 [/tex]
1 сл) [tex]l=-4=>k=6=>m=-2 =>\vec{x} (6;-4;-2) [/tex]
2 сл[tex]l=4=>k=-6=>m=2=> \vec{x}(-6; 4; 2) [/tex]

[r2d2]

Пресмятаме векторното произведение на а и в - аХв=(-3,2,1). Знаем, че този вектор е перп. и на а и на в.
Дължината му е |aXb|=\sqrt{9+4+1}=\sqrt{14}.
Значи ни трябва 2 пъти по-голям вектор.