Пространствен четириъгълник,са върхове на успоредник

[ferry2]

Решавам задачи за курсовата ми работа ,но за една не се сещам как да направя чертежа!Ето я и задачата: Докажете,че точките,симетрични на дадена точка относно средите на страните на произволен пространствен четириъгълник,са върхове на успоредник.

[Реклама]

[ганка симеонова]

А е симетрична на О относно L
В е симетрична на О относно К
С е симетрична на О относно N
Д е симетрчина на О относно M
Остава да док, че защрихованата фигура е успоредник.

[ferry2]

Благодаря за бързия отговор!

[ганка симеонова]

[ferry2]

Може ли да ми дадете и някакви насоки откъде да тръгна с реше нието?

[ганка симеонова]

Ще ти дам. Ползвай една основна задача от 8 клас, която гласи, че:
Средите на страните на всеки четириъгълник образуват успоредник. После ползвай, че
NK, KL, ML, MN са средни отсечки съответно в триъгълниците [tex]\Delta BOC, \Delta AOB; \Delta AOD, \Delta COD [/tex]

[ferry2]

Забравих да спомена,че трябва да я реша с вектори!Темата от ,която е тази задача е "Свободни вектори и линейни действия с тях"!

[ганка симеонова]

На чертежа върховете на четириъгълника не са именувани. Започни от лявата и в посока, обратна на часовниковата стрелка. Нека тогaва го означим
[tex]TQPF [/tex]
Следните означения ще се за вектори, но без да пиша стрелки отгоре, защото ми е досадно.
[tex] KL=PL-PK=\frac{1}{2 } (PF-PQ)=\frac{1}{2 } QF [/tex]
[tex]NM=TM-TN=\frac{1}{ 2} (TF-TQ)=\frac{1}{ 2} QF [/tex]
=> [tex]KL=NM=>[/tex] отсечките KL и MN са успоредни и имат равни дължини=> [tex]KLMN[/tex]- успоредник
[tex]AB=OB-OA=2(OK-OL)= 2LK [/tex]
[tex] DC=OC-OD=2(ON-OM)=2MN [/tex]
Но векторите LK=MN=> AB=DC=> отесечките АВ и Dc са упоредни и равни и фигурата
[tex]ABCD [/tex] е успоредник

[ferry2]

Благодаря ти много ,златна си !