За кои стойности на параметъра функията има min при x=2

[quitestupid]

Нека [tex]f(x)=ax^3+bx^2-6ax-2b-1[/tex] да се намерят a и b ако [tex]f(x)[/tex] има локален минимум при x=2 и локален максимум 14. Попринцип имам идея, но става доста извратено и се съмнявам да съм прав... Аз намирам производната и правя система за единия корен да е 2, а другия замествам в f но става доста грозно, и обратното съответно, защото незнам за кой корен е мин и за кой макс

[Реклама]

[NoThanks]

Ами така си е. Намираш 1ва производна. Получаваш някво квадратно у-е, намираш му корените. Намираш и 2рата производна. Ясно е, че f"(2)>0, от тук си намираш точно кой от 2та корена на квадратното у-е ти е минимума и си го приравняваш на 2. От тук 1 връзка. После имаш, че максимума ти е 14. Значи f(2рия корен) = 14. Oт тук 2ра връзка и си готов.

[quitestupid]

Може ли малко да обясниш за втора прозводна кога и как се ползва

[NoThanks]

Ако 1вата производна се нулира в точката а, т.е
f'(a) = 0 Имаш 3 възможности:
f"(a)>0 => а - локален минимум
f"(a)=0 => а - инфлексна точка
f"(a)<0 => а - локален максимум

[gdimkov]

Нещо в тази задача не ми е ясно.
Функцията от ІІІ ст. може да има или два екстремума, или нито един. Т.е. първата производна има реални нули или няма такива. Ако коефициентът пред ІІІ ст. е положителен, тези екстремуми са разположени така (при нарастващи стойности на х): първо имаме локален максимум, след това инфлексна точка след това стигаме до локален минимум. Съответно обратното разположение ще имаме при a<0. Тогава според условието на задачата трябва да имаме a<0. Освен това, като нагласим втората производна да има корени 2 и 14, всичко автоматично си отива на място. Проблемът е, че на практика не се получава такова нещо. Защо?
[tex]f(x)=ax^3+bx^2-6ax-2b-1[/tex]
[tex]f'(x)=3ax^2+2bx-6a[/tex]
Поради изискването 2 и 14 да са локални екстремуми, трябва да имаме
[tex]3ax^2+2bx-6a\equiv 3a(x-2)(x-14)[/tex]
От това тъждество определяме a и b по метода на неопределените коефициенти и получаваме
2b=-48a
-6a=126a.
Второто уравнение има единственото реешение а=0. Но тогава функцията ще бъде от ІІ степен и няма да има два ексремума.
Ако написаното дотук е вярно, възниква въпросът: Вярно ли е преписано условието на задачата?

[ганка симеонова]

[gdimkov]

Ами това ми е наследство от сина ми - да чета невнимателно условията!!!!!!!!

Иначе задачата е добре подбрана. В друг вариант би могла да има две решеия.

[quitestupid]

отговорите са a=2, b=-3 ??

[ганка симеонова]

Значи има проблем, в условието. Направи елементарна проверка с дадените решения.
Значи ф-та ще има вида
[tex]y=2x^3-3x^2-12x+5 =>y'=6x^2-6x-12=>f'=0=>x=2; -1 [/tex]
Според условието=>[tex] f(-1)=14=>-2-3+12+5=14=>12=14 [/tex]Противоречие.
Значи максимумът трябва да е 12, а не 14