Уравнение в цели числа

[estoyanovvd]

Намерете всички целочислени решения на уравнението

[tex]14x^{4}-5y^{4}-3x^{2}y^{2}+82y^{2}-125x^{2}+51=0[/tex]

[Реклама]

[Saposto_MM]

Решаваме уравнението като биквадратно относно x
[tex]x_{1,2}=\pm\frac{\sqrt{34-2y^{2}}}{2}[/tex]
[tex]x_{3,4}=\pm\frac{\sqrt{35y^{2}+21}}{7}[/tex]
При първите два корена лесно намираме, че x е цяло при [tex]y=\pm 3[/tex].
При вторите два корена разглеждаме два случая
1)[tex]y=2m+1[/tex]. За да бъде израза под корена точен квадрат трябва [tex]49\-35\left(2m+1\right)^{2}+21[/tex] [tex]\Leftrightarrow[/tex] [tex]7\-5m^{2}+5m+2[/tex]. Нека [tex]m=7k+n[/tex], [tex]n=0,1,2,\ldots,6[/tex]. Тогава [tex]7\-5\left(7k+n\right)^{2}+5\left(7k+n\right)+2[/tex] [tex]\Leftrightarrow[/tex] [tex]7\-5n^{2}+5n+2[/tex]. Но при проверка с [tex]n=0,1,2,\ldots,6[/tex] виждаме, че последния израз не се дели на 7.
2)[tex]y=2k[/tex]. Отново за да бъде израза под корена точен квадрат трябва [tex]49\-140k^{2}+21[/tex] [tex]\Leftrightarrow[/tex] [tex]7\-20k^{2}+3[/tex]. Нека [tex]k=7m+n[/tex]. Тогава [tex]7\-20\left(7m+n\right)^{2}+3[/tex] [tex]\Leftrightarrow[/tex] [tex]7\-20n^{2}+3[/tex]. Отново при проверка с [tex]n=0,1,2,\ldots,6[/tex] виждаме, че последния израз не се дели на 7.
Окончателно решенията са [tex]\left(x,y\right)=\left(2,3\right),\left(-2,3\right),\left(2,-3\right),\left(-2,-3\right)[/tex]

[estoyanovvd]

Наистина ли си толкова добър, колкото изглежда?!

[Пафнутий]

Добър е определено (познавам го лично)