Логаритмично уравнение

[estoyanovvd]

Решете уравнението


[tex]log_{2\sqrt{2+\sqrt{3} } [/tex] [tex](x^{2}-2x-2)=log_{2+\sqrt{3}} [/tex] [tex](x^{2}-2x-3)[/tex]

[Реклама]

[ганка симеонова]

ДС: [tex]x\in (-\infty ;-1)\cup (3;+\infty )[/tex]
Ще преобразуваме основите, като за начало:
[tex]2\sqrt{2+\sqrt{3} } = \sqrt{8+4\sqrt{3} } ; 2+\sqrt{3} =\sqrt{7+4\sqrt{3} } [/tex]
Тогава ще положим [tex]log_{\sqrt{8+4\sqrt{3} }}(x^2-2x-2)=log_{\sqrt{7+4\sqrt{3} }}(x^2-2x-3)=u [/tex]=>
[tex]\sqrt{8+4\sqrt{3} }^u=x^2-2x-2 [/tex]
[tex]\sqrt{7+4\sqrt{3} }^u=x^2-2x-3 [/tex] Изваждаме почленно двете равенства и получаваме:
[tex]\sqrt{8+4\sqrt{3} }^u-\sqrt{7+4\sqrt{3} }^u=1=>\sqrt{8+4\sqrt{3} }^u=1+\sqrt{7+4\sqrt{3} }^u [/tex]. Делим почленно на лявата страна и получаваме:
[tex]1=(\frac{1}{ \sqrt{8+4\sqrt{3} }})^u+(\frac{\sqrt{7+4\sqrt{3} }}{\sqrt{8+4\sqrt{3} } })^u [/tex]
Очевидно [tex]u=2[/tex] е едно решение на това уравнение и то е единствено, защото лявата страна е константа, а дясната е на намаляваща функция.
Нататък мисля, че е ясно