Положителни корени

[Saposto_MM]

Нека [tex]a_{n},a_{n-1},\ldots, a_{0}[/tex] са реални положителни числа и всичките корени на уравнението [tex]a_{n}x^{n}-a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}-\cdots+\left(-1\right)^{n}a_{0}=0[/tex] са реални числа. Докажете, че те са положителни.

[Реклама]

[NoThanks]

Да допуснем, че сред корените на уравнението има поне 1 отрицателен и нека той е [tex]x_{0}[/tex].
Тогава имаме:
[tex]a_{n}x_{0}^{n}-a_{n-1}x_{0}^{n-1}+a_{n-2}x_{0}^{n-2}-\cdots+\left(-1\right)^{n}a_{0}=0[/tex]
Сега разглеждаме 2 случая:
1)Нека n e четно. Имаме и, че [tex]x_{0}<0[/tex] Тогава имаме, че [tex]a_{n-\cdots}x^{n-2k}>0[/tex], a за[tex]a_{n-\cdots}x^{n-2k-1}[/tex] имаме, че са отрицателни. Но точно пред тези множители стои знак -. Тоест за уравнението получаваме:
[tex](+) - (-) + (+) - .... + = (+) + (+) + .... = 0[/tex], което е невъзможно
2)Нека n e нечетно. Имаме [tex]a_{n-..}x^{n-2k}<0[/tex] a за[tex]a_{n-...}x^{n-2k-1}[/tex] имаме, че са положителни. Тогава за у-ето получаваме:
[tex](-) - (+) + (-) - (+) ...... = ------ - =0[/tex], което е невъзможно.
=> допускането е грешно => невъзможно е да има отрицателни корени

[gdimkov]

Вариант на NoThanks. Нека [tex]x_0<0[/tex]. Да означим [tex]y_0=-x_0[/tex]. Като заместим в уравнението, получаваме:
[tex](-1)^n(a_ny^n+a_{n-1}y^{n-1}+\cdots +a_0)=0[/tex].
Изразът в скобите е строго положителен.