Коренуване на комплексно число

[burzoopak]

Здравейте! Чета си аз Записките по алгебра на доц. Сидеров и гледам:
Така за всяко комплексно число z съществуват n комплексни числа [tex] z_0, z_1, z_2,..., z_{n-1} [/tex], такива че [tex]z_k^n = z[/tex] . Това ще записваме по следния начин:
[tex]\sqrt[n]{z} = \sqrt[n]{r}\left{ cos(\frac{\varphi + 2k\pi}{n}) + i. sin(\frac{\varphi + 2k\pi}{n}) \right} [/tex] [tex] k=0, 1,...,n-1[/tex].

Значи от твърдението, че има n числа, чиято n-та степен е z, заключваме, че [tex]\sqrt[n]{z} [/tex] има n броя стойности и излиза, че коренът не е функция. Звучи ми доста странно. Някой би ли внесъл светлина в тая материя, че цял следобед мисля какво не разбирам и вече се отчайвам.

[Реклама]

[gdimkov]

Трябва да различим следните два случая: в единия z е фиксирано число и корен n-ти от това число се намира по приложената формула; в другия случай z е независимата променлива на дадена функция.
Съвсем резонен е въпросът как ще съчетаем тези два случая за функцията [tex]f(z)=\sqrt[n]{z} [/tex].
За всяка фиксирана стойност на променливата функцията взема n различни стойности. Такива функии в комплексния анализ се наичат многозначни функции. Да въведем един друг запис на разглежданата функция. [tex]f(z)=e^{\frac {1}{n}Lnz}[/tex]. В комплексна област [tex]Lnz=ln|z|+i(argz+2k\pi ),\,k=0,\,\pm 1,\,\pm 2,\,...[/tex], т.е. логаритъмът има безбройно много стойности. Лесно се проверява, че във формулата за корен n-ти се получават точно n различни стойности. Главна стойност на логаритъма се нарича онази негова стойност, която се получава при k=0 и се означава [tex]Logz=ln|z|+iargz[/tex]. (Понякога [tex]Log_0z[/tex].)
И така [tex]f(z)=\sqrt[n]{z} [/tex] е общото означение на n функции. Всяка от тези функции се нарича еднозначен клон на[tex]f(z)[/tex]. Във всеки случай, когато ще си служим с многозначна функция, ние определяме с кой от нейните клонове ще работим. На практика това означава да посочим с коя стойност на k в горната формула ще работим.
Забележка. Това е кратко обяснение на работата с многозначни функции. Правят се и други доуточнения, които няма да споменавам тук.