sin2x-2a(sinx-cosx)+1-4a=0

[Mastinka90]

За кои стойности на параметъра а,уравнението има решения в интервала [45[tex]^\circ [/tex];90[tex]^\circ [/tex]] :
sin2x-2√2a(sinx-cosx)+1-4a=0




Знам как се решават параметрични от този вид,но с това конкретно изпитвам затруднения при опростяването..А другият ми вариант беше при а=0 и се получават някакви решения,за които проверяваме интервала,или за а[tex]\ne [/tex]0,но за последното пак трябва някакъв опростен вид..

[Реклама]

[NoThanks]

Групираме [tex]sin2x + 1 = sin^2x +2sinxcosx+cos^2x = (sinx+cosx)^2[/tex] Получаваме:
[tex](sinx+cosx)^2 -2\sqrt{2}a(sinx-cosx) -4a =0[/tex]
Знаем, че
[tex]sinx+cosx = \sqrt{2}cos(\frac{\pi}{4}-x)[/tex]
[tex]sinx-cosx = -\sqrt{2}sin(\frac{\pi}{4}-x)[/tex]
Откъдето получаваме:
[tex]2cos^2(\frac{\pi}{4}-x)+4a.sin(\frac{\pi}{4}-x) - 4a =0[/tex]
[tex]cos^2(\frac{\pi}{4}-x)+2a.sin(\frac{\pi}{4}-x) - 2a =0[/tex]
Имаме обаче:
[tex]cos^2(\frac{\pi}{4}-x) + sin^2(\frac{\pi}{4}-x)=1 =>cos^2(\frac{\pi}{4}-x)= 1-sin^2(\frac{\pi}{4}-x)[/tex]
[tex]1-sin^2(\frac{\pi}{4}-x)+2a.sin(\frac{\pi}{4}-x) -2a=0[/tex]
[tex]sin^2(\frac{\pi}{4}-x) -2a.sin(\frac{\pi}{4}-x) +2a-1=0[/tex]
Което си е квадратно уравнение с дискриминанта:
[tex]D = a^2 - 2a+1 = (a-1)^2[/tex]
корените са [tex]a-a+1 = 1[/tex] и [tex]a+a-1 = 2a-1[/tex]
[tex]cos(\frac{\pi}{4}-x)=1 =>\frac{\pi}{4}-x = 2k\pi =>x = \frac{\pi}{4}+2k\pi[/tex]
Oт тук имаме 1 решение в [45;90], което е за всяка стойност на а.При този отговор си мисля, че дори не е нужно да разглеждаме другия корен.(освен ако изрично не се искат 2 корена)

[r2d2]

Защо задачата от заглавието е различна от тази в поста?!

[martosss]

добре, защо като заместя в първоначалното уравнение х=45 градуса и работите нещо не излизат... наистина не знам защо...

Впрочем, Nothanks, май имаш малка грешчица, накрая е п/4-2кп, май знаците нещо не са както трябва при теб

Освен това по-съществената грешка е, че накрая казваш cos(45-x)=1, a trqbva da e sin(45-x)=1, с което отговорът бая се променя (и за това мога да си отговоря на въпроса защо не се получава равенство )

В крайна сметка трябва да се разгледа другия случай за sin(45-x)=2a-1, тогава явно ще стане интересно...

[r2d2]

[Mastinka90]

Оттук май е по-лесно да положим и възможно най-бързият начин е да се работи с разположение на корените,защото направо се откриват решенията.Мерси много..Аз понеже се узорих и пробвах с двойно полагане и универсална субституция,което си беше убийство..

[r2d2]

Eто и решение, което се надявам че е вярно.
Ако има въпроси, давайте:

[r2d2]

Ч0век може да се Озори, ама да се Узори не може!!!

[NoThanks]

[martosss]