Помощ!Четири интеграла

[pinger83]

Имам изпит /за пореден път/ по ВМ2.От предишният си опит пазя интегралите, които ми се паднаха.Интересувам се по-скоро какви типове са и как се решава всеки тип, отколкото конкретното решаване на дадените.Мерси передварително!Ще черпя бира!/съвсем сериозно говоря/
∫x[tex]\sqrt{x-4}[/tex]dx
∫arcsinⁿxdx-n може би е 2..не се вижда хубаво от снимката
[tex]\int\frac{2xdx}{{(x^n +1)}{(x^n +3)}} [/tex]-n може би е 3
[tex]\int\frac{sin^n{x}}{cos^n{x} }[/tex] -n може би е 2

Източник

[Реклама]

[ганка симеонова]

За първата положи [tex]\sqrt{x-4} =u=>x=4+u^2=>dx=2udu=>[/tex]
[tex]\int_{}^{ } (4+u^2)u.2udu=\int_{}^{ } (8u^2+2u^4)du=8\int_{}^{ } u^2du+2\int_{}^{ } u^4du=\frac{8}{3 }u^3+\frac{2}{ 5}u^5+C [/tex]
Остава да се върнеш към старата променлива.

[ганка симеонова]

За втората положи [tex]arcsinx=u=>x=sinu=>dx=cosudu [/tex]
После два пъти интегриране по части ще свърши работа.

[pinger83]

Първата е елементарна
за втората как ще стане ако n=2

∫arcsin²xdx

arcsin²x=u
x=sin²u
∫udsin²u = ?

[ганка симеонова]

Maй, в главата ти е пълна каша.
[tex]arcsinx=u=>x=sinu=>dx=cosudu [/tex]
[tex]\int_{}^{ } u^2cosudu=\int_{}^{ } u^2dsinu=u^2sinu-\int_{}^{ } sinudu^2=u^2sinu-\int_{}^{ } 2usinudu= [/tex]

[tex]=u^2sinu+2\int_{}^{ } udcosu=u^2sinu+2ucosu-2\int_{}^{ } cosudu=u^2sinu+2ucosu-2sinu+C [/tex]
Остава да се върнеш към х.

[pinger83]

Така е, малко са ми хаотични знанията, мисля че това е нормално когато не са ми много приятни тези неща и единствената цел е да си взема изпита, за да се дипломирам
Мерси и за втората задачка!По третата и четвъртата можете ли да ми кажете нещо?

[ганка симеонова]

И колко може би е n?

[pinger83]

[tex]\int\frac{sin^2{x}}{cos^4{x} }[/tex]
тази най-вероятно е така
[tex]\int\frac{2xdx}{{(x^3 +1)}{(x^3 +3)}} [/tex]
и тази

[gdimkov]

[tex]\int_{}^{ } {\frac {sin^2x}{cos^4x}}dx=\int_{}^{ } tg^2x{\frac {dx}{cos^2x}}=\int_{}^{ } tg^2xdtgx[/tex]

Ако вторият интеграл действително изглежда така, както е написан, трябва да се постъпи по следния начин: подкоренната величина се разлага на сбор от елементарни дроби по метода на неопределените коефициенти от тъждеството

[tex]{\frac {A}{x+1}}+{\frac {Bx+c}{x^2-x+1}}+{\frac {D}{x+\sqrt[3]{3} }+\frac {Ex+F}{x^2-x\sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{3^2}}}\equiv \frac {2x}{(x^3+1)(x^3+3)}[/tex]

Резултатът ще бъде сбор от логаритми и аркустангенси. Във всеки случай си е бая дълга работа.

[pinger83]

[tex]\int\frac{sin^n{x}}{cos^4{x} }[/tex]
ако n e 3 или 7 или друго нечетно число как ще стане номера?

[ганка симеонова]

http://www.math10.com/forumbg/viewtopic.php?t=5504

[ганка симеонова]

след малко ще ти напише решение за последния при n=3

[ганка симеонова]

[tex]\int_{}^{ } \frac{sin^2x.sinx}{cos^4x }dx=-\int_{}^{ } \frac{sin^2x}{cos^4x }dcosx=-\int_{}^{ } \frac{1-cos^2x}{ cos^4x}dcosx [/tex]
Полагаме [tex]cosx=u=>\int_{}^{ } \frac{u^2-1}{ u^4}du=\int_{}^{ } \frac{du}{u^2 }-\int_{}^{ } \frac{du}{u^4 }=-\frac{1}{u }+\frac{1}{u^3 }+C [/tex]
Остава да се върнеш към старата променлива.
Ако имаш на 7 степен става по същия начин. Представяш [tex]sin^7x=sin^6x. sinx [/tex]
[tex] sinx[/tex] внасяш под знака на диференциала като -косинус, а
[tex]sin^6x=(sin^2x)^3=(1-cos^2x)^3 [/tex] . Полагаш [tex]cosx=u [/tex] и получаваш дробно- рационална подинтегрална функция.

[pinger83]

Да, благодаря, вече ги бях решил от посочената по-горе стара тема и точно мислех да поствам отговорите.
имам последно питане/че станах нахален/......
[tex]\int\frac{cos^{3}x}{1+sinx }dx [/tex]

[tex]\int\е^{3x}cos^{2}xdx[/tex]
в скобите е "е"

[ins-]

[tex]cos^{3}x=cos^{2}xcosx.[/tex] cosx може да се внесе под знака на диференциала и натам е лесно.

[ганка симеонова]

[pinger83]

така ли е?
[tex]\int\frac{cos^{3}x}{1+sinx }dx[/tex]=[tex]\int\frac{cos^{2}x.cosx}{1+sinx}dx[/tex]=
[tex]\int\frac{cos^{2}x}{ 1+sinx}dsinx[/tex]=[tex]\int\frac{1-sin^{2}x}{1+sinx } dsinx[/tex]=[tex]\int\frac{(1-sinx)(1+sinx)}{1+sinx}dsinx[/tex]=[tex]\int\1-sinxdsinx[/tex]=[tex]-\int\1-sinxd(1-sinx)=-\frac{(1-sinx)^2}{2 }[/tex]

[ганка симеонова]

[pinger83]

тя за тройка не иска да и се пише.......+C

на кое число производната e е^3x.......3e^3x???

[ганка симеонова]

[pinger83]

[tex]cos^{2}x.e ^{3x} [/tex] - [tex]\int\e ^{3x}dcos^{2}x=?[/tex]

[ганка симеонова]

[pinger83]

добре, мъчих бая и не можах да я направя.........не разбирам точно каква връзка може да се направи м/у "е" и cosx/sinx/.....