Регистрирайте сеРегистрирайте се

център на тежестта


 
   Форум за математика Форуми -> Геометрия
Предишната тема :: Следващата тема  
Автор Съобщение
Анна
Начинаещ


Регистриран на: 20 Jan 2008
Мнения: 15
Местожителство: Враца
Репутация: 3.7Репутация: 3.7Репутация: 3.7

МнениеПуснато на: Thu Oct 30, 2008 12:05 pm    Заглавие: център на тежестта

В триъгълник АВС,АВ=14,AC=18,през център на тежестта(пресечна точка на медианите)му е построена права успоредна на ВС която пресича АВ и АС съответно в т.D и т.E.Да се намерят АЕ и ВD.
Реших всички задачи от грБ и грВ на сборника обаче тази нещо не се сещам и е срамота защото се намира в грА.Срам ме е обаче това е положението. Smile
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Реклама







Пуснато на:     Заглавие: Реклама

Върнете се в началото
ганка симеонова
SUPER VIP


Регистриран на: 10 Jan 2008
Мнения: 5985
Местожителство: софия
Репутация: 618.5Репутация: 618.5Репутация: 618.5
гласове: 298

МнениеПуснато на: Thu Oct 30, 2008 12:43 pm    Заглавие:

Означи третата медиана с АМ, а медицентъра с О. Тогава
ътиъгълниците AOD и АМВ са подобни с коефициент
[tex]\frac{AO}{ AM}=\frac{AD}{ AB} =>\frac{2}{3 }=\frac{AD}{14 }=>AD=\frac{28}{3 } =>BD=14-\frac{28}{3 }=\frac{14}{3 } [/tex]
По същия начин намираш и другата отсечка
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
NoThanks
Гост






МнениеПуснато на: Thu Oct 30, 2008 7:47 pm    Заглавие:

А може и да си означим AE=x; AD=y. Тогава от Талес имаме:
[tex]\frac{y}{14}=\frac{x}{18}[/tex] Откъдето получаваме отношение м/у х и у. И сега вече от от теоремата на Ван Обел си ги намираш:
[tex]\frac{x}{18-x} + \frac{\frac{7}{9}x}{14-\frac{7}{9}x} = 2[/tex]
Laughing
Върнете се в началото
ганка симеонова
SUPER VIP


Регистриран на: 10 Jan 2008
Мнения: 5985
Местожителство: софия
Репутация: 618.5Репутация: 618.5Репутация: 618.5
гласове: 298

МнениеПуснато на: Thu Oct 30, 2008 8:35 pm    Заглавие:

Ван Обел?
Честно казано, за мен това е неизвестно...Не се учи в училище. Би ли, пояснил, за какво иде реч?
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
NoThanks
Гост






МнениеПуснато на: Thu Oct 30, 2008 9:00 pm    Заглавие:

Ами днес се присетих за тази теорема и се чудех къде да я приложа Very Happy . По принцип е в програмата за СИП на 9ти-10ти клас. Имаме, че:
[tex]\frac{CB_{1}}{B_{1}A} + \frac{CA_{1}}{A_{1}B} = \frac{CI}{IC_{1}}[/tex]
За произволни чевиани в произволен триъгълник.



asdffff.png
 Description:
 Големина на файла:  14.01 KB
 Видяна:  3366 пъти(s)

asdffff.png


Върнете се в началото
ганка симеонова
SUPER VIP


Регистриран на: 10 Jan 2008
Мнения: 5985
Местожителство: софия
Репутация: 618.5Репутация: 618.5Репутация: 618.5
гласове: 298

МнениеПуснато на: Thu Oct 30, 2008 9:06 pm    Заглавие:

NoThanks написа:
Ами днес се присетих за тази теорема и се чудех къде да я приложа Very Happy . По принцип е в програмата за СИП на 9ти-10ти клас. Имаме, че:
[tex]\frac{CB_{1}}{B_{1}A} + \frac{CA_{1}}{A_{1}B} = \frac{CI}{IC_{1}}[/tex]
За произволни чевиани в произволен триъгълник.

Благодаря Smile
Аз, наистина, не я знаех..
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Анна
Начинаещ


Регистриран на: 20 Jan 2008
Мнения: 15
Местожителство: Враца
Репутация: 3.7Репутация: 3.7Репутация: 3.7

МнениеПуснато на: Thu Oct 30, 2008 10:04 pm    Заглавие:

Благодаря ви и за решенията,и за теоремата на Ван Обел,защото и за мен е новост. Smile
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
r2d2
VIP


Регистриран на: 28 Feb 2007
Мнения: 1936
Местожителство: in the galaxy (Far Far Away)
Репутация: 311.2Репутация: 311.2
гласове: 179

МнениеПуснато на: Fri Oct 31, 2008 1:41 pm    Заглавие:

NoThanks написа:
А може и да си означим AE=x; AD=y. Тогава от Талес имаме:
[tex]\frac{y}{14}=\frac{x}{18}[/tex] Откъдето получаваме отношение м/у х и у. И сега вече от от теоремата на Ван Обел си ги намираш:
[tex]\frac{x}{18-x} + \frac{\frac{7}{9}x}{14-\frac{7}{9}x} = 2[/tex]
Laughing


Тази теорема на ван Обел (има и друга) е малко известна. Страх ме е, че не можеш да я приложиш в тази задача. Поне от това което си написал, аз не разбирам как си я приложил (кои са трите 4евиани?), а и решението, което полу4аваш е х=9?!
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
r2d2
VIP


Регистриран на: 28 Feb 2007
Мнения: 1936
Местожителство: in the galaxy (Far Far Away)
Репутация: 311.2Репутация: 311.2
гласове: 179

МнениеПуснато на: Fri Oct 31, 2008 2:16 pm    Заглавие:

Д-во на Теоремата на Van Aubel. Означенията са от картинката на Nothanks.

Имаме [tex]\frac {S_{ABC}}{S_{AIB}}=\frac{CC_1}{IC_1}[/tex] (триъгълниците имат обща основа => лицата им се отнасят както съответните височини, а пък те - като CC1 и IC1.
Тогава [tex]\frac {S_{ABC}}{S_{AIB}}-1=\frac{CC_1}{IC_1}-1 \Rightarrow \frac {S_{AIBC}}{S_{AIB}}=\frac{CI}{IC_1} \Rightarrow \frac{S_{AIC}+S_{BIC}}{S_{AIB}}=\frac{CI}{IC_1}[/tex].

Триъгълниците AIC, BIC имат обща основа - AI, значи [tex] \frac{S_{AIC}}{S_{AIB}}=\frac {CA_1}{BA_1}[/tex], aналогично [tex]\frac{S_{BIC}}{S_{AIB}}=\frac {CB_1}{AB_1}.[/tex] Или [tex]\frac {CA_1}{BA_1}+\frac {CB_1}{AB_1}=\frac{CI}{IC_1}[/tex].
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
r2d2
VIP


Регистриран на: 28 Feb 2007
Мнения: 1936
Местожителство: in the galaxy (Far Far Away)
Репутация: 311.2Репутация: 311.2
гласове: 179

МнениеПуснато на: Fri Oct 31, 2008 2:49 pm    Заглавие:

Kакто по-горе:
Имаме [tex]\frac {S_{AIB}}{S_{ABC}}=\frac{IC_1}{CC_1}[/tex] и аналогично:

[tex]\frac {S_{AIC}}{S_{ABC}}=\frac{IB_1}{BB_1} \;\; \frac {S_{CIB}}{S_{ABC}}=\frac{IA_1}{AA_1}[/tex].

Получаваме една теорема на Жергон (Gergonne):
[tex]\frac{IC_1}{CC_1}+\frac{IB_1}{BB_1}+\frac{IA_1}{AA_1}=1[/tex]
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
NoThanks
Гост






МнениеПуснато на: Fri Oct 31, 2008 11:38 pm    Заглавие:

r2d2 написа:
NoThanks написа:
А може и да си означим AE=x; AD=y. Тогава от Талес имаме:
[tex]\frac{y}{14}=\frac{x}{18}[/tex] Откъдето получаваме отношение м/у х и у. И сега вече от от теоремата на Ван Обел си ги намираш:
[tex]\frac{x}{18-x} + \frac{\frac{7}{9}x}{14-\frac{7}{9}x} = 2[/tex]
Laughing


Тази теорема на ван Обел (има и друга) е малко известна. Страх ме е, че не можеш да я приложиш в тази задача. Поне от това което си написал, аз не разбирам как си я приложил (кои са трите 4евиани?), а и решението, което полу4аваш е х=9?!

Прав сте, съжалявам( и за липсата на отговор ). Прилагането на теоремата в случая действително е грешно.(или поне не се бях замислял особено ). Но сега от друга страна имаме:
[tex]\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}[/tex]. Тогава нека AM е медината към BC. Имаме:

[tex]\frac{AD}{DB}.\frac{BM}{MC}.\frac{CE}{EA} = \frac{AD}{DB}.\frac{BM}{MC}.\frac{DB}{AD} = 1[/tex] Тоест от теоремата на Чева излиза, че AM, BE и CD действително се пресичат в 1 точка, откъдето излиза, че прилагането на теоремата си е ок Question
Едит: Да, ама не. Ок си е за пресечната им точка, не за медицентъра. грешно си е, съжалявам Smile
Върнете се в началото
gdimkov
Напреднал


Регистриран на: 21 Jun 2008
Мнения: 413
Местожителство: София
Репутация: 29.1Репутация: 29.1Репутация: 29.1
гласове: 17

МнениеПуснато на: Sat Nov 01, 2008 8:34 pm    Заглавие:

Оставям настрана задачата. Като чета писаното по-горе, срещам името ван Обел веднъж написано на кирилица, веднъж на латиница. Като се порових малко из Google, открих следното. Има матиматик van Obel и друг един van Aubel. За първото име няма съмнение, че трябва да се прочете ван Обел. За второто има две възможности: френски вариант - ван Обел; немски вариант - ван Аубел. И за двамата няма биографични данни. Намесва се името на Жозеф Диаз Жергон (Joseph Diaz Gergonne), който има несъмнени приноси към математиката. Интересен е следният факт: теоремата на първия ван Обел (Obel) е за триъгълници, а на втория (Aubel) - за четириъгълници. Прилагам сайтовете:
http://www.cut-the-knot.org/triangle/VanObel.shtml
http://www.cut-the-knot.org/triangle/Gergonne.shtml
http://mathworld.wolfram.com/vanAubelsTheorem.html
http://agutie.homestead.com/files/vanaubel.html (анимация)
http://en.wikipedia.org/wiki/Van_Aubel's_theorem (четириъгълник със самопресичания)
http://en.wikipedia.org/wiki/Joseph_Diaz_Gergonne#Work
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Покажи мнения от преди:   
   Форум за математика Форуми -> Геометрия Часовете са според зоната GMT + 2 Часа
Страница 1 от 1

 
Идете на:  
Не Можете да пускате нови теми
Не Можете да отговаряте на темите
Не Можете да променяте съобщенията си
Не Можете да изтривате съобщенията си
Не Можете да гласувате в анкети
Може да прикачвате файлове
Може да сваляте файлове от този форум
Copyright © 2005-2021 math10.com.