Аритметична

[Spider Iovkov]

Дадена е аритметичната прогресия [tex]b_{1}, b_{2}, ..., b_{n}, ...[/tex]. Да се докаже, че ако за всеки две естествени числа [tex]m[/tex] и [tex]n[/tex] е изпълнено

[tex]\frac{b_{1}+b_{2}+...+b_{m}}{b_{1}+b_{2}+...+b_{n}}=\frac{m^2}{n^2}[/tex],

то [tex]\frac{b_{m}}{b_{n}}=\frac{2m-1}{2n-1}[/tex].

[Реклама]

[NoThanks]

Прилагаме ф-лата за сума на прогресия и стигаме до:
[tex]\frac{b_{1}+b_{m}}{b_{1}+b_{n}} = \frac{m}{n}[/tex]
[tex]n.b_{1}+n.b_{m} = m.b_{1}+m.b_{n}[/tex]
[tex]b_{1}(m-n) +m.b_{n}-n.b_{m}=0[/tex]
[tex]b_{1}(m-n) +m.(b_{1}+nd-d)-n.(b_{1}+md-d)=0[/tex]
[tex]b_{1}(m-n) +mb_{1}+md(n-1)-nb_{1}-nd(m-1)=0[/tex]
[tex]2b_{1}(m-n)+d(mn-m-mn+n)=0[/tex]
[tex]2b_{1}(m-n)-d(m-n)=0[/tex]
[tex](m-n)(2b_{1}-d)=0[/tex]
1)m=n. Ясно е че исканото твърдение е изпълнено
2)[tex]d=2b_{1}[/tex]
=>[tex]b_{m}=b_{1}+(m-1)2b_{1} = b_{1}(2m-1)[/tex]
[tex]b_{n}=b_{1}+(n-1)2b_{1} = b_{1}(2n-1)[/tex]
=> твърдението пак е изпълнено