Ако x+y=2 то x^4+y^4-(xy)^3-(xy)^2+16xy=?

[lenito7]

много Ви се поля помогнете много се чудя на тази задача може би е невероятно лесна но се нуждая от пощ моля Ви наистина а ето и задачата:

Ако x+y=2 то x^4+y^4-(xy)^3-(xy)^2+16xy=? има възможни отговори
a)16
b)8
c)4
d)6

[Реклама]

[estoyanovvd]

Отговорът е 16!!!
Между другото задачката е много готина, защото единствено 16 е възможен отговор, а за другите се доказва, че не могат да са стойности на израза при така зададеното условие! Но за да е коректно условието би трябвало да се пита кой от посочените отговори е възможен, а не на колко е равен израза. Защото той може да приема и други стойности, но те всички са по-големи от 16.

[estoyanovvd]

Между другото от къде е тая задачка?!

[estoyanovvd]

Аз бих я формулирал така:

Нека [tex]x+y=2[/tex]. Да се докаже, че [tex]x^{4}+y^{4}-x^{3}y^{3}-x^{2}y^{2}+16xy\ge 16[/tex].

[ганка симеонова]

Ако искаме да се изхитрим, а аз бих направила така, бих приела, че
[tex] x=1; y=1[/tex],
защото тогава [tex]x+y=1+1=2[/tex] и отговаря на условието.
Следователно за "гадния" израз ще имаме
[tex]1^4+1^4-(1.1)^3-(1.1)^2+16.1.1=2-1-1+16=16 [/tex]
Иначе, с формули става много тегаво

[gdimkov]

Същото става и при [tex]x=0,\,y=2[/tex] или обратното.

[ганка симеонова]

[lenito7]

[r2d2]

[estoyanovvd]

Благодаря, че ме отмени r2d2 ! Този начин с формулите на Виет е хитър. Ако не го разберат, ето и друг [tex]x.y\le 1[/tex] е равносилно на [tex]x(2-x)\le 1[/tex], което при разкриване на скобите и прехвърляне от дясно води до ... ясно какво.

[lenito7]

Много благодаря за решението но всъщност аз съм на 12 години 7 клас уча в МГ и няма как да разбера термини като дискриминанта и т.н.Но все пак благодаря за отделеното време!

[estoyanovvd]