Тригонометрични равенства

[MJ]

Здравейте, имам проблем с една задача и се надявам да ми помогнете

задачата е следната :

Да се намери сборът на острите ъгли \alpha и \beta , ако tg\alpha и tg\beta са корените на уравнението x^2-ax+a+1=0 , a \ne 0


Мерси предварително

[Реклама]

[Добромир Глухаров]

[tex]x^2 - ax + a + 1 = 0, a \ne 0[/tex]

[tex]tg\alpha = x_1, tg\beta = x_2[/tex]

[tex]tg( \alpha + \beta ) = \frac{tg\alpha + tg\beta}{1 - tg\alpha tg\beta } = \frac{x_1 + x_2}{1 - x_1x_2 }[/tex]

От формулите на Виет:

[tex]x_1 + x_2 = - \frac{-a}{1 } = a[/tex]
[tex]x_1x_2 = \frac{a + 1}{1 } = a + 1[/tex]

[tex]=> tg( \alpha + \beta ) = -1 => \alpha + \beta = k\pi - \frac{\pi }{4 }, k=0, \pm 1, \pm 2, \pm 3, \cdot \cdot \cdot[/tex]

Но щом [tex]\alpha [/tex]и [tex]\beta [/tex]са остри ъгли в триъгълник, [tex]=> 0<\alpha +\beta <\frac{\pi }{2 } + \frac{\pi }{2 } = \pi => \alpha +\beta = \pi - \frac{\pi }{4 } = \frac{3\pi }{4 }[/tex]