Триъгълник и окръжност

[Spider Iovkov]

В [tex]\triangle ABC[/tex] е вписана окръжност, която се допира до страната [tex]BC[/tex] в точка [tex]D[/tex]. Ако [tex]AD=DB, BC=9, cos\angle ABC=\frac{2}{3}[/tex], определете дължината на страната [tex]AB[/tex].

[Реклама]

[Mastinka90]

Аз решавам по следният начин..Нека DB=AD=x =>CD=9-x
Използваме Косинусова теорема за т-к АДБ и оттам АВ=х√2[tex]\frac{}{ } [/tex] 3(х корен квадратен от 2 трети).Нека [tex]\angle [/tex]DBA=[tex]\alpha [/tex],но триъгълникът е равнобедрен=> DAB=[tex]\alpha [/tex].Ъгъл ADC външен за т-к ADB=>ъгъл ADC=2[tex]\alpha [/tex]..Прилагаме косинусова теорема за т-кADC,като косинусът на 2[tex]\alpha [/tex] представим като 2cos^2[tex]\alpha [/tex]-1 [tex] и оттам намираме АС.Имаме трите страни-една известна-9,и две,изразени чрез х и един известен косинус- при ъгълABC.. И оттам намираме колко е х=>намираме АВ

[martosss]

да, ама като приложиш косинусова теорема накрая за АВС и ъгъл В става 0=0

[Mastinka90]

хм..странно..вероятно съм объркала нещо,защото като го решавах така ми се получи числен отговор някакъв.Ще проверя пак

[NoThanks]

AB = 4 ? Просто изразих един си означих BD=x=AD;DC=9-x;AB=4x/3. Сега от равните допирателни отсечки си намираме и AC = 9-2x/3. После си изразявам AC(по няколко начина, не помня кой даде резултата ) 1 път чрез теоремата на Стюарт, 1 път чрез косинусова за АБЦ и 1 път чрез косинусова за АДЦ(косАДЦ = -1/9)