..<=>..

[Mastinka90]

В окръжност к е вписан триъгълник АВС.
1.да се докаже,че ако АВС е равностранен,то МА²+МВ²+МС²=6R²
2.да се докаже,че ако МА²+МВ²+МС² е константа,то АВС е равностранен


Първото се доказва лесно-само със синусова теорема,като се отбележи ъгъл АСМ с х и оттам чрез дъгите се изрзяват останалите ъгли.И така за МА²+МВ²+МС² имаме само R и cos(ъгли,в които участва х),оттам cos се съкращават и излиза..

Идеи за второто??(по същата система не става,защото имаме три различни ъгъла)

[Реклама]

[NoThanks]

А М какво е?

[Mastinka90]

опа-произволна точка от окръжнотта к...

[NoThanks]

За 2ра единственото, което ми хрумва е да ползваш теоремата на Лайбниц:
Нека G e медицентърът на ABC:
[tex]3MG^2 = MA^2 + MB^2 + MC^2 - \frac{1}{3}(AB^2 + AC^2 + BC^2)[/tex]
Сега като имаме, че [tex]MA^2+MB^2+MC^2 = const[/tex] =>
[tex]3MG^2 - 1/3(AB^2+AC^2+BC^2) = const[/tex] no
[tex]1/3(AB^2+AC^2+BC^2) = const[/tex] => 3MG^2 = const. Което е константа само,когато [tex]G\equiv O[/tex] И MG = R = MO

[ганка симеонова]

Достатъчност:
За всяка точка М от к сборът [tex] MA^2+MB^2+MC^2 [/tex] е константа.
Нека [tex]M\equiv A =>[/tex] сборът е [tex]AB^2+AC^2 [/tex]
Нека сега [tex]M\equiv B [/tex] сборът е [tex]AB^2+BC^2 [/tex]
=>[tex]AB^2+AC^2=AB^2+BC^2=>AC=BC [/tex]
Анлогично доказваме, че [tex]AC=AB [/tex]

[Mastinka90]

Не съм учила теорема на Лайбниц..Така в основен вид ли е написана?

[ганка симеонова]

[Mastinka90]

Решението на No Thanks е интересно,но има нещо в него,което..е странно.Не е ли вярно,че сборът от квадратите страните на равностранен т-к е константа.Ние по условие имаме произволен и не можем да го твърдим,тъй като окръжността е с произволен радиус,страните на т-ка-също..
А може би аз нещо изпускам..

[r2d2]

Eто доказателство на теоремата на Лайбнитц, което използва теоремата на Стюарт (вж например "Планиметрията .. " на Хр. Пачев стр. 154 за доказателството на теоремата на Стюарт.

От теоремата на Лайбнитц следва едно забележително свойство на медицентъра: От всички точки М от равнината на един триъгълник сумата от квадратите от разстоянията (МА^2+MB^2+MC^2) до върховете му е най-малко за медицентъра (М≡G).

[r2d2]

Решението на НоТhx, е асолютно вярно. Триъгълникът ти е даден, значи a^2+b^2+c^2 e константа.

[Mastinka90]

Мерси много..мисля,че с чертеж и обяснение стана доста по-лесно..